Question

20．如图所示，MN是水平轨道，NP是倾角θ=45°的无限长斜轨道，长为L=0.8m的细线一端固定在O点，另一端系着质量为m_B=2kg小球B，当细线伸直时B球刚好与MN轨道接触但没有挤压．开始时细线伸直，B球静止在MN轨道上，在MN轨道上另一个质量为m_A=3kg小球A以速度v₀向右运动．（不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度g=10m/s²）
（1）若A、B球发生弹性碰撞后B能在竖直面内做圆周运动，求v₀的取值范围；
（2）在满足（1）的条件下，轨道NP上有多长的距离不会被A球击中？

Answer 1

分析 （1）小球B在竖直平面内做圆周运动，有两种情况：第一情况是小球B能通过最高点做完整的圆周运动，由最高点的临界速度和机械能守恒求出碰后B球的速度，根据机械能守恒定律和动量守恒定律结合求出v₀的临界值．
第二种情况是小球B上升的最大高度等于L，根据机械能守恒定律求碰后B球的速度，根据机械能守恒定律和动量守恒定律结合求出v₀的临界值．从而得到v₀的取值范围
（2）根据上题的结果得到小球A碰后的速度范围，结合平抛运动的规律求解．

解答 解：（1）碰撞后，小球B在竖直平面内做圆周运动，有两种情况：
第一情况，小球B能通过最高点做完整的圆周运动，设小球B通过最高点的速度为v_B，A、B碰后瞬间A、B两球的速度分别为v₁和v₂．
在最高点，有 m_Bg≤m_B$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
B球从最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律有 m_Bg•2L+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{2}^{2}$
A、B球发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律分别得：
    m_Av₀=m_Av₁+m_Bv₂． 
   $\frac{1}{2}$m_Av₀²=$\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂²．
解得  v₁=$\frac{{m}_{A}-{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀，v₂=$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀．
联立解得 v₀≥$\frac{5}{3}\sqrt{10}$m/s，v₁≥$\frac{1}{3}\sqrt{10}$m/s
第二种情况是小球B上升的最大高度等于L，根据机械能守恒定律得：
    m_BgL≥$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{2}^{2}$
结合v₂=$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀．解得 0＜v₀≤$\frac{20}{3}$m/s
并由v₁=$\frac{{m}_{A}-{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀，得 0＜v₁≤0.8m/s
所以v₀的取值范围为v₀≥$\frac{5}{3}\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\frac{20}{3}$m/s．
（2）设A球落在斜面NP上的位置到N点的距离为S．
由平抛运动的规律有 
    Ssin45°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
    Scos45°=v₁t
结合v₁≥$\frac{1}{3}\sqrt{10}$m/s和0＜v₁≤0.8m/s，解得  S≥$\frac{16}{125}\sqrt{2}$m或0＜S≤$\frac{32}{25}\sqrt{2}$m
所以轨道NP上不会被A球击中的距离为 S′=$\frac{32}{25}\sqrt{2}$m-$\frac{16}{125}\sqrt{2}$m=$\frac{144}{125}\sqrt{2}$m
答：
（1）v₀的取值范围为v₀≥$\frac{5}{3}\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\frac{20}{3}$m/s．
（2）轨道NP上不会被A球击中的距离为$\frac{144}{125}\sqrt{2}$m．

点评 解决本题的关键是理清两球的运动过程，把握隐含的临界条件，要注意小球B可能做完整的圆周运动，也可能是不完整的圆周运动，不能漏解．