Question

在光滑绝缘水平面的上方，有一足够大的、由电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场构成的正交电磁场区域，其方向如图所示。在水平面上沿电场线方向放有两个静止的小球A和B（均可看做质点），两小球的质量均为m ,A球带电荷量＋q ，B球不带电，开始时两球相距L，现释放两球，A球开始运动，当A、B碰撞时，A、B两球的总动能无损失，且A、B两球间无电荷转移，不考虑两球间的万有引力和空气阻力，问：
       （1）如果 A球与B球能够发生碰撞，需要多长时间两球发生第一次碰撞？碰后A、B两球的速度各为多大？
       （2）设q=2×10^-5C，E=1×10⁴N/C，m=0.1kg，B=50T，L=1cm，取g=10m/s²，试问A、B两球最多能相碰几次？各次碰撞时相邻两次碰撞的时间间隔分别是多少？

Answer 1

解：（1）当两球能够发生第一次碰撞时，A球没有离开地面，沿水平方向只受电场力的
作用，做匀加速直线运动，且满足 解之得： 即经过时间两球发生第一次碰撞。A球与B球第一次碰撞时，动量守恒，则 根据题意，总能量不损失，则 联立解得 此即两球碰撞后的速度。 (2)设 带入数值求得v_o=0.2m/s ， t_o=0.1s ，a=2m/s² 设每次碰撞前，A、B的速度分别为v₁、v₂ ，碰撞后分别为 、,由于碰撞中动量
守恒，总动能不损失，所以： 解得 , 即碰撞后两球总是交换速度。由上一问可知，第一次碰后A球速度为0 ，此后作匀加速直线运动；B球作速度为v_o
的匀速直线运动。设第二次碰撞前A球速度为v_A2 ,所用时间为△t₂ ,则 v_A2= 解得v_A2=2v_o , 碰撞后，交换速度，A的速度变为v_o ,B的速度变为2v_o 设第三次碰撞前A球速度为v_A3,所用时间为△t₃ ,则 解得v_A3=3v_o ， 再次碰撞后，交换速度，A的速度变为2v_o ,B的速度变为3v_o同理可证，第一次碰撞后的过程中，A、B每次碰撞前的加速过程（即相邻两次碰撞的
间隔），时间均相等，为2t_o =0.2s, 同时可得，A球加速n次后的速度为nv_o .碰后速度为（n-1）v_o.每一次碰后至下一次碰
前速度增加2v_o.设加速n次后A球刚要离开地面，则 qnv_oB=mg 带值解得 n=5×10³ 即最多碰5000次。