Question

2．如图所示，质量为m的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，轻绳穿过转盘中央的细管，与质量也为m的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ=0.2），当转盘以角速度ω=4rad/s匀速转动时．（g取10m/s²）
（1）要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？
（2）若木块转动的半径保持r=0.5m不变，则转盘转动的角速度范围是多少？

Answer 1

分析 （1）木块靠拉力和静摩擦力共同提供向心力，当静摩擦力达到最大值时，木块转动半径最大，根据牛顿第二定律求出木块转动半径的最大值．
（2）取木块为研究对象，木块随转盘转动的向心力应由绳的拉力和摩擦力提供，摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，绳的拉力F总等于小球的重力mg．根据牛顿第二定律即可解题．

解答 解：（1）当静摩擦力指向圆心达到最大值时，木块转动半径最大，设最大半径为r₁，对木块分析，根据牛顿第二定律得：
T+f_m=mr₁ω²；
又 T=mg，f_m=μmg，
则mg+μmg=mr₁ω²
代入数据解得最大半径为：r₁=0.75m．
当静摩擦力背离圆心达到最大值时，木块转动半径最小，设最小半径为r₂，对木块分析，根据牛顿第二定律得：
 T-f_m=mr₂ω²；
又 T=mg，f_m=μmg，
则mg-μmg=mr₁ω²
代入数据解得最小半径为：r₂=0.5m．
故木块转动半径的范围是 0.5m≤r≤0.75m．
（2）以木块为研究对象，转盘转动的角速度较大时，木块刚要沿转盘外滑时，此时由绳的拉力与最大静摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg+μmg=mrω₁²
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{g（1+μ）}{r}}$=$\sqrt{\frac{10×（1+0.2）}{0.5}}$=2$\sqrt{6}$rad/s．
当木块随转盘转动的角速度较小时，将要向圆心滑动，此时静摩擦力的方向背离圆心，由牛顿第二定律得：
mg-μmg=mrω₂²
代入数据解得：ω₂=4rad/s
转盘转动的角速度范围是：2rad/s≤ω≤2$\sqrt{6}$rad/s．
答：（1）要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是0.5m≤r≤0.75m．
（2）若木块转动的半径保持r=0.5m不变，则转盘转动的角速度范围是2rad/s≤ω≤2$\sqrt{6}$rad/s．

点评 解决本题的关键知道木块刚要滑动时，木块的摩擦力达到最大静摩擦力，结合牛顿第二定律进行求解．