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如图所示,在质量为M=0.99kg的小车上,固定着一个质量为m=10g、电阻R=1Ω的矩形单匝线圈MNPQ,其中MN边水平,NP边竖直,高度l=0.05m.小车载着线圈在光滑水平面上一起以v0=10m/s的速度做匀速运动,随后进入一水平有界匀强磁场(磁场宽度大于小车长度),完全穿出磁场时小车速度v1=2m/s.磁场方向与线圈平面垂直并指向纸内、磁感应强度大小B=1.0T.已知线圈与小车之间绝缘,小车长度与线圈MN边长度相同.求:
(1)小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小和方向;
(2)小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q;
(3)小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W.
分析:(1)小车刚进入磁场时线圈切割磁感线产生感应电动势,由公式E=Blv求出感应电动势,根据欧姆定律求解感应电流的大小,根据楞次定律判断感应电流的度方向;
(2)小车通过磁场的过程中,小车与线圈的总动能减小转化为内能,根据能量守恒定律求解热量Q;
(3)要求小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W,关键要求小车完全进入磁场后的速度v.根据牛顿第二定律和加速度的定义式a=
△v
△t
、电量q=i△t结合得到小车进入磁场过程中小车的速度变化量与电量的关系式,同理得到小车离开磁场时速度变化量与电量的关系式,由于进入和离开磁场两个过程中,通过线圈的电量大小相等,联立即可求解速度v,再根据功能关系求解W.
解答:解:
(1)线圈切割磁感线的速度v0=10m/s,感应电动势为 E=Blv0=1×0.05×10=0.5V
由闭合电路欧姆定律得,线圈中电流为 I=
E
R
=
0.5
1
=0.5
A          
由楞次定律知线圈中感应电流方向为 M→Q→P→N→M    
(2)线圈进入磁场和离开磁场时克服安培力做功,动能转化成电能,产生的电热为
  Q=
1
2
(M+m)
v
2
0
-
1
2
(M+m)
v
2
1
=
1
2
×1×102
-
1
2
×1×22
=48(J)
(3)设小车完全进入磁场后速度为v,在小车进入磁场从t时刻到t+△t时刻(△t→0)过程中,根据牛顿第二定律得
  -Bil=m
△v
△t

即-Bl?i△t=m△v,
而i△t=q
求和得 BLq=m(v0-v) 
同理得 
  BLq=m(v-v1) 
而 q=i△t=
E
R
?△t=
△Φ
R?△t
?△t=
△Φ
R

又线圈进入和穿出磁场过程中磁通量的变化量相同,因而有 q=q
故得  v0-v=v-v1  即有 v=
v0+v1
2
=6 m/s 
所以,小车进入磁场过程中线圈克服安培力做功
W=
1
2
(M+m)
v
2
0
-
1
2
(M+m)v2=
1
2
×1×102
-
1
2
×1×62
=32(J)
答:
(1)小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小为0.5A,方向为 M→Q→P→N→M;
(2)小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q为48J;
(3)小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W为32J.
点评:本题的解题关键是根据牛顿第二定律,运用积分法求解小车进入磁场后的速度v,也可以根据动量定理列式求出v.
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