Question

5．如图所示，两条光滑平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L，导轨上端接有一电阻，阻值为R．导轨处于长度为x的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m、阻值也为R的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．让金属棒从距离磁场上边界x处由静止释放，当运动到距离磁场上边界$\frac{x}{2}$处恰好达到匀速．已知重力加速度大小为g，不计其他电阻，且x＜$\frac{2{m}^{2}{R}^{2}gsinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．求金属棒从静止释放到刚好离开磁场的过程中，
（1）金属棒中所产生的焦耳热Q；
（2）所经历的总时间t．

Answer 1

分析 （1）明确物理过程，根据磁场中的匀速运动可求得安培力大小，再根据闭合电路欧姆定律以及法拉第电磁感应定律分析金属棒的运动情况，再对全面过程根据功能关系可分析金属棒产生的焦耳热；
（2）分析运动过程，分别根据牛顿第二定律和功能关系进行分析，求出各段所用的时间，即可求得总时间．

解答 解：（1）在磁场中匀速运动时，速度为v，由受力平衡知：F_A=mgsinθ（F_A表示安培力）-----------（1）
又：F_A=BIL--------------------------（2）
由闭合电路欧姆定律有：I=$\frac{E}{2R}$------------------（3）
由法拉第电磁感应定律由：E=BLv------------------（4）
联立（1）～（4）得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=mgsinθ----------------（5）
x＜$\frac{2{m}^{2}{R}^{2}gsinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$⇒x＜$\frac{{v}^{2}}{2gsinθ}$，说明在金属棒进入磁场前还未达到最大速度．
从开始运动到导体棒出磁场，动能定理：W_G+W_L=$\frac{1}{2}$mv²------（6）
重力做功：W_G=mg（x+x）sinθ------------------（7）
安培力做功：W_A=-Q_2R（其中Q_2R指全电路中产生的焦耳热）-----（8）
由电路结构，金属棒产生的焦耳热Q为：Q=$\frac{1}{2}$Q_2R---------（9）
（5）～（9）得：Q=mgsinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）由题知：可知，金属棒在进入磁场前做匀加速直线运动，加速度为a₁
受力，牛顿第二定律：mgsinθ=ma₁----------------（10）
金属棒仅在重力作用下，匀加速直线运动：x=$\frac{1}{2}$a₁t${\;}_{1}^{2}$----------（11）
由（10）～（11）得：t₁=$\sqrt{\frac{2x}{gsinθ}}$-------------------（12）
在磁场中前半部分，位移为$\frac{x}{2}$，全电路焦耳热为Q₁
从金属棒开始运动到匀速，历时t₂
由功能关系得：t₂=$\frac{{B}^{6}{L}^{6}}{4mgRsinθ（3{B}^{4}{L}^{4}x-4{m}^{2}g{R}^{2}sinθ）}$-----（13）

在磁场中运动的后半部分，位移为x，速度为匀速运动时的速度v
时间t₃为：t₃=$\frac{\frac{x}{2}}{v}$----------------------（14）
由（5）和（14）得：t₃=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{4mgRsinθ}$-------------（15）
导体棒运动的总时间为：t=t₁+t₂+t₃-------------（16）
代入上述式子可得：t=$\sqrt{\frac{2x}{gsinθ}}$+$\frac{{B}^{6}{L}^{6}}{4mgRsinθ（3{B}^{4}{L}^{4}x-4{m}^{2}g{R}^{2}sinθ）}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{4mgRsinθ}$
答：（1）金属棒中所产生的焦耳热Q为mgsinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
（2）所经历的总时间t为$\sqrt{\frac{2x}{gsinθ}}$+$\frac{{B}^{6}{L}^{6}}{4mgRsinθ（3{B}^{4}{L}^{4}x-4{m}^{2}g{R}^{2}sinθ）}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{4mgRsinθ}$

点评 本题考查导体切割磁感线中的功能关系以及动力学规律的应用，要注意明确运动过程、受力分析以及功能关系的转化规律等，明确物理规律的准确应用即可求解，过程较为复杂，要注意认真分析每一步．