Question

如图所示，质量均为m、电荷量均为q的带负电的一簇粒子从P₁（-a，b）点以相同的速率v₀在：xoy平面内朝x轴上方的各个方向射出（即0＜θ≤π），不计重力及粒子间的相互作用，且已知a足够大．
（1）试在图（甲）中的适当位置和区域加一垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，使这簇带电粒子通过该磁场后都沿平行于x轴方向运动．在图中定性画出所加的最小磁场区域边界的形状和位置．
（2）试在图（乙）中的某些区域加垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，使从P₁点发出的这簇带电粒子通过磁场后都能通过P₂（a，b）点．要求：
①说明所加磁场的方向，并在图中定性画出所加的最小磁场区域边界的形状和位置；
②定性画出沿图示v₀方向射出的带电粒子运动的轨迹；
③写出所加磁场区域与xoy平面所成截面边界的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子从A点离开磁场区域，A点坐标为（x、y），运用数学上参数方程的方法得出A点的坐标的两个参数方程，即可求出磁场边界的轨迹方程，由数学知识求出边界的形状和位置．
（2）根据对称性可得出在P₂处所加的磁场最小区域的形状和位置，再画出轨迹．

解答：解：（1）设带电粒子从A点离开磁场区域，A点坐标为（x、y），粒子旋转的半径为R，旋转的圆心在C点，旋转圆心角为α，则
   x=一a+Rsinα，
   y=R-Rcosα，
解得（x+a）²+（y-R）²=R²．
可见，所加磁场的边界的轨迹是一个以（-a，R）为圆心，
半径为R=

mv0

Bq

的圆．该圆位于x轴上方且与P₁点相切．
（2）根据对称性可得出在P₂处所加的磁场最小区域也是圆，同理可求得其方程为（x-a）²+（y-R）²=R² 
圆心为（a，R），半径为R=

mv0

Bq

，
由数学知识可知该圆位于x轴上方且与P₂点相切；
根据左手定则判断得知，磁场方向垂直于xOy平面向里；
沿图示v₀方向射出的带电粒子运动的轨迹如图所示．
答：
（1）所加磁场的边界的轨迹是一个以（-a，R）为圆心，半径为R=

mv0

Bq

的圆．该圆位于x轴上方且与P₁点相切．
（2）①所加磁场的方向垂直于xOy平面向里；在图中定性画出所加的最小磁场区域边界的形状是圆，该圆位于x轴上方且与P₂点相切．如上图所示；
②定性画出沿图示v_o方向射出的带电粒子运动的轨迹如图；
③所加磁场区域与xOy平面所成截面边界的轨迹方程为（x-a）²+（y-R）²=R²．圆心为（a，R），半径为R=

mv0

Bq

．

点评：本题关键是运用数学知识解决带电粒子的轨迹问题，采用参数方程的方法，并抓住对称性进行分析．