Question

7．如图所示，竖直放置的半圆形光滑轨道半径为R，将带电量为+q₁的点电荷固定于其圆心O处．另一带电量为+q₂，质量为m的小球（可看作质点），从轨道上与圆心等高的A处以竖直向下的初速度v_o开始沿轨道运动，（已知静电力常量为k）．求：
（1）小球到达最低点B点时的速度大小
（2）小球在B点对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）小球下滑到最低点B点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒．根据机械能守恒定律求出小球到达B点时的速度；
（2）小球到达B点时由重力、轨道的支持力和点电荷的电场力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和第三定律结合求出球对轨道的压力．

解答 解：（1）设小球到达B点时速度大小为v．小球从A滑到B的过程，由机械能守恒定律得：
  mgR=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）小球经过B点时，由牛顿第二定律得：
 N-k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{R}^{2}}$-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入得：N=3mg+k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{R}^{2}}$
由牛顿第三定律知，小球在B点对轨道的压力 N′=N=3mg+k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{R}^{2}}$
答：
（1）小球到达最低点B点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$．
（2）小球在B点对轨道的压力为3mg+k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{R}^{2}}$．

点评 本题是机械能守恒定律和牛顿第二定律的综合应用．对于圆周运动，常常不单独出题，会和动能定理、机械能守恒结合应用．