Question

19．如图所示，以水平地面建立x轴，质量为m=1kg的木块放在质量为M=2kg的长木板上，木板长L=11.5m．已知木板与地面的动摩擦因数μ₁=0.1，木块与木板之间的动摩擦因数μ₂=0.9（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．木块与木板保持相对静止共同向右运动，已知木板的左端A点经过坐标原点O时的速度为v₀=10m/s，在坐标为x_P=21m处有一挡板P，木板与挡板P瞬间碰撞后立即以原速率反向弹回，而木块在此瞬间速度不变，若碰后立刻撤去挡板P，g取10m/s²，求：

（1）木板碰挡板P时的速度v₁；
（2）最终木板停止运动时其左端A的位置坐标（结果保留到小数点后两位）．

Answer 1

分析 （1）对整体分析，根据牛顿第二定律求出整体的加速度，根据速度位移公式求出木板碰挡板P前的瞬间速度．
（2）当木板碰到挡板并撤掉挡板后，木板以初速度v₁向左做匀减速运动，木块以初速度v₁向右做匀减速运动，木块加速度较大，所以木块先停下，然后向左做匀加速运动，直到二者保持相对静止．根据牛顿第二定律，结合运动学公式求出木板最终停止运动时其左端A的位置坐标．

解答 解：（1）对木块和木板组成的系统，根据牛顿第二定律得：
μ₁（M+m）g=（M+m）a₁，
根据匀变速直线运动规律得：
v₀²-v₁²=2a₁x_BP
其中：x_BP=21m-11.5m=9.5m，
解得：v₁=9m/s．
（2）对木块，由牛顿第二定律，
有：μ₂mg=ma_m
对木板，由牛顿第二定律，有
μ₂mg+μ₁（M+m）g=Ma_M
解得：a_m=9 m/s²，a_M=6 m/s²
设经时间t₁，木块停止，则t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{m}}$=1s，
此时木板的速度v_M=v₁-a_Mt₁=3 m/s，方向向左．
设再经时间t₂二者达到共同速度v₂，则
v₂=v_M-a_Mt₂=a_mt₂
解得t₂=0.2 s，v₂=1.8 m/s，方向向左．
木板的位移x₁=$\frac{v1+v2}{2}$•（t₁+t₂）=6.48 m
之后二者以加速度a₁=1m/s²向左减速运动至静止
位移x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{1}}$=1.62m，
所以最终木板左端A点位置坐标为：x=x_P-L-x₁-x₂=1.40m；
答：（1）木板碰挡板P时的速度v₁为9m/s；
（2）最终木板停止运动时其左端A的位置坐标为：x=1.40m．

点评 解决本题的关键理清木板和木块在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．本题也可以通过动能定理、功能关系进行求解．