Question

（2011?河北模拟）如图甲所示，CDE是固定在绝缘水平面上的光滑金属导轨，CD=DE=L，∠CDE=60°，CD和DE单位长度的电阻均为r₀，导轨处于磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中．MN是绝缘水平面上的一根金属杆，其长度大于L，电阻可忽略不计．现MN在向右的水平拉力作用下以速度v₀在CDE上匀速滑行．MN在滑行的过程中始终与CDE接触良好，并且与C、E所确定的直线平行．

（1）求MN滑行到C、E两点时，C、D两点电势差的大小；
（2）推导MN在CDE上滑动过程中，回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式；
（3）在运动学中我们学过：通过物体运动速度和时间的关系图线（v-t图）可以求出物体运动的位移x，如图乙中物体在0～t₀时间内的位移在数值上等于梯形Ov₀Pt₀的面积．通过类比我们可以知道：如果画出力与位移的关系图线（F-x图）也可以通过图线求出力对物体所做的功．
  请你推导MN在CDE上滑动过程中，MN所受安培力F_安与MN的位移x的关系表达式，并用F_安与x的关系图线求出MN在CDE上整个滑行的过程中，MN和CDE构成的回路所产生的焦耳热．

Answer 1

分析：MN切割磁感线，运用法拉第电磁感应定律求出感应电动势．
应用闭合电路欧姆定律求出C、D两点电势差的大小．
设MN运动时间为t，滑出位置图象，根据几何关系求出回路的长度和电阻．
从安培力的表达式出发求出安培力与位移的关系，通过关系表达式画出F-x图，从而求出功．
根据能量的转化和守恒定律求出回路所产生的焦耳热．

解答：解：（1）MN滑行到C、E两点时，在回路中的长度等于L
此时回路中的感应电动势E=BLv₀
由于MN的电阻忽略不计，CD和DE的电阻相等
所以C、D两点电势差的大小U=

1

2

E=

1

2

BLv₀
（2）设经过时间t运动到如图所示位置，

此时杆在回路中的长度l=2v₀ttan30°=

2 3

3

v₀t    
电动势E=Blv₀=

2 3

3

Bv₀²t  
（3）在第（2）题图示位置时，回路中的电阻R=

4 3

3

r₀v₀t    
回路中的电流I=

Bv0

2r0

  
即回路中的电流为一常量．
此时安培力的大小F_安=BIL=

3 B2v02

3r0

t     
由于MN在CDE上滑动时的位移x=v₀t
所以F_安=

3 B2v0

3r0

x     
所以安培力的大小随位移变化的图线（F_安-x图）如图所示，

所以MN在CDE上的整个滑行过程中，安培力所做的功W_安=

3 B2L2v0

8r0

    
根据能量的转化和守恒定律
回路中产生的焦耳热Q等于安培力所做的功，即Q=

3 B2L2v0

8r0

     
答：（1）MN滑行到C、E两点时，C、D两点电势差的大小为

2 3

3

Bv₀²t；
（2）推导MN在CDE上滑动过程中，回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式为E=

2 3

3

Bv₀²t  
（3）MN所受安培力F_安与MN的位移x的关系表达式F_安=

3 B2v0

3r0

x，MN和CDE构成的回路所产生的焦耳热为

3 B2L2v0

8r0

点评：关于回路中电阻要看清题目，有的导轨计电阻，有的不计．
根据物理规律求出物理量之间的关系，从而画出图象．