Question

11．如图所示，某卫星S绕地球做周期为T的匀速圆周运动，地球相对卫星S的张角为θ，地球质量分布均匀的球体，其表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 卫星S的轨道半径r=$\frac{{T}^{2}gsi{n}^{2}θ}{4{π}^{2}}$
• B． 卫星S的速度大小v=$\frac{Tg}{4π}$sin²$\frac{θ}{2}$
• C． 地球的密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$
• D． 地球的第一宇宙速度大小为$\frac{Tg}{2π}$sin$\frac{θ}{2}$

Answer 1

分析 根据几何关系求得卫星轨道半径，根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．

解答 解：A、由题意令卫星的轨道半径为r，地球的半径为R，根据几何关系可知，
r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$  ①
根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r   ②
T=2π $\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$   ③
根据万有引力等于重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg     ④
联立解得：R=$\frac{{{gT}^{2}si{n}^{3}（\frac{θ}{2}）}^{\;}}{{4π}^{2}}$⑤，r=$\frac{{{gT}^{2}si{n}^{2}（\frac{θ}{2}）}^{\;}}{{4π}^{2}}$   ⑥
故A错误；
B、卫星S的速度大小为：v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{Tg}{2π}$sin²$\frac{θ}{2}$，故B错误；
C、地球的质量：M=ρV  ⑦
联立④⑤⑦得：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$．故C正确；
D、根据万有引力提供向心力得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{gR}$=$\frac{Tg}{2π}$$\sqrt{{sin}^{3}\frac{θ}{2}}$，故D错误．
故选：C

点评 解决本题的关键是能根据几何关系求得卫星轨道半径与地球半径的大小关系，这是学生容易出错的主要地方．