Question

如图，A、B两物体用弹簧相连，放在光滑水平面上.其中A物体靠墙放.现用外力将B左推至弹簧弹性势能为8 J处，此处B也静止不动.撤去外力，求：

(1)若A、B质量都为1 kg，至B的速度第一次达到最大过程中，墙给A的冲量；
(2)在A刚要离开墙时，记下A、B的速度，这两个速度第n次交换时，弹性势能多大？n=1、2、3……A、B质量都为1 kg.
(3)若A、B质量分别为1 kg、2 kg，求撤去外力后，弹簧第n次恢复原长时，A、B速度各多大？分奇数、偶数讨论.

Answer 1

(1)4 N?s(2)零(3)奇数次恢复原长时，v_B′=2 m/s,v_A′=0偶数次恢复原长时，v_B′= m/sv_A′= m/s解析：(1)将A、B和弹簧看作系统，墙给A的冲量等于B的动量变化，I=mv.由mv²=8得v=4 m/s,所以I_A=mv=4 N?s. (4分)(2)A刚要离开墙时，弹簧为原长，系统只有动能.A、B交换速度是在A、B相互作用刚好结束时，总动能不变，所以弹性势能为零. (4分)(3)在弹簧第一次恢复原长时，由m_Bv_B²=8,v_B=2 m/s,动量m_Bv_B=2×2 kg?m/s=4 kg?m/s.以后的过程中系统总动量守恒m_Bv_B=m_Bv_B′+m_Av_A′代入数据得4=2v_B′+v_A′ ①在恢复原长时，无弹性势能，由机械能守恒，有8=m_Bv_B′²+m_Av_A′²代入数据得16=2v_B′²+v_A′² ②①②消去v_A′得3v_B′²－8v_B′+8=0所以v_B′=第一组解：当v_B′=2 m/s时,v_A′=0第二组解：当v_B′= m/s时,v_A′= m/s.讨论：分析运动过程知，弹簧第一次恢复原长时，v_A=0,v_B=2 m/s;第二次恢复原长时，由于之前A一直加速，此时应v_A′>v_B′,即v_A′= m/s,v_B′= m/s;第三次恢复原长时，由于之前A一直减速，B一直加速，此时应v_A″=0,v_B″=2 m/s;依此类推：奇数次恢复原长时，A、B的速度为第一组解.偶数次恢复原长时，A、B的速度为第二组解. (8分)