Question

8．如图甲所示，固定轨道由倾角为θ的斜导轨与水平导轨用极短的圆弧导轨平滑连接而成，轨道所在空间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两导轨间距为L，上端用阻值为R的电阻连接．在沿斜导轨向下的拉力（图中未画出）作用下，一质量为m的金属杆MN从斜导轨上某一高度处由静止开始（t=0）沿斜导轨匀加速下滑，当杆MN滑至斜轨道的最低端P₂Q₂处时撤去拉力，杆MN在水平导轨上减速运动直至停止，其速率v随时间t的变化关系如图乙所示（其中v_m和t₀为已知）．杆MN始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触，导轨和杆MN的电阻以及一切摩擦均不计．求：
（1）杆MN中通过的最大感应电流I_m；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的过程中，通过电阻R的电荷量q；
（3）撤去拉力后，杆MN在水平导轨上运动的路程s．

Answer 1

分析 （1）根据E=BLv和闭合电路的欧姆定律求解感应电流的最大值；
（2）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律结合电荷量的计算公式求解杆MN沿斜导轨下滑的过程中，通过电阻R的电荷量；
（3）根据平均加速度和安培力的关系计算撤去拉力后，杆MN在水平导轨上运动的路程s．

解答 解：（1）经分析可知，杆MN下滑到P₂Q₂处时的速度最大（设为v_m），此时回路中产生的感应电动势最大，且最大值为：E_m=BLv_m，
此时回路中通过的感应电流最大，有：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R}$，
解得：I_m=$\frac{BL{v}_{m}}{R}$；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的距离为：x=$\frac{{v}_{m}}{2}{t}_{0}$；
在杆MN沿斜导轨下滑的过程中，穿过回路的磁通量的变化为：△Ф=BLxcos θ，
该过程，回路中产生的平均感应电动势为：$\overline{E}=\frac{△Φ}{{t}_{0}-0}$，
回路中通过的平均感应电流为：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$；
又：q=$\overline{I}{t}_{0}$，
解得：q=$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{2R}$；
（3）撤去拉力后，杆MN在水平导轨上做减速运动，设某时刻其速度大小为v，
则此时回路中通过的感应电流为：I=$\frac{BLv}{R}$，
设此时杆MN的加速度大小为a，由牛顿第二定律有：BIL=ma，
设在趋近于零的时间△t内，杆MN的速度变化的大小为△v，有：a=$\frac{△v}{△t}$，
由以上三式可得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}•v△t=m△v$，
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}•s=m（{v}_{m}-0）$，
解得：s=$\frac{mR{v}_{m}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）杆MN中通过的最大感应电流为$\frac{BL{v}_{m}}{R}$；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的过程中，通过电阻R的电荷量为$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{2R}$；
（3）撤去拉力后，杆MN在水平导轨上运动的路程为$\frac{mR{v}_{m}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下物体的平衡问题；另一条是能量，分析电磁感应现象中的能量如何转化是关键．