Question

不可伸长的绝缘轻绳长为R，一端系于O点，另一端系一质量为m、电量为+q 的点电荷，点电荷可在xoy平面内绕O点做半径为R的圆周运动，如图甲所示，本题计算中忽略点电荷的重力．
（1）当点电荷以速率v₀沿+y方向通过A（R，0）点的瞬间，在空间中加沿x轴正方向的匀强电场E₀，如图乙所示，要使点电荷能做完整的圆周运动，电场强度E₀需满足何条件？
（2）在（1）问中，其他条件不变，将空间中的电场用垂直xoy平面向里的匀强磁场B₀代替，如图所示，要使点电荷仍能做半径为R的圆周运动，磁感应强度B₀需满足何条件？
（3）变化的磁场周围可以激发感生电场，若上述磁场随时间均匀变化，会在点电荷运动的圆形轨道上产生一个环形电场，其电场线是闭合的，各点场强大小相等．现在空间加一垂直xoy平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B变化情况如图丁所示，t=0时刻点电荷的速率为v₀，轻绳一直处于伸直状态．试求0～T时间内，轨道中形成的感生电场E_感的大小，并在图戊中作出点电荷在0～5T时间内v～t图象，要求写出主要的分析过程．

Answer 1

分析：（1）要使点电荷能做完整的圆周运动，当点电荷运动到最左端绳子张力F≥0．先根据动能定理求出此时电荷的速度，由牛顿第二定律和向心力公式结合求E₀需满足的条件．
（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，由洛伦兹力与绳子拉力的合力提供向心力时，点电荷能做完整的圆周运动，绳子的拉力F′≥0，由牛顿第二定律列式求解．
（3）分四段时间分析，根据法拉第电磁感应定律求感生电动势，当感生电动势一定时，点电荷所受电场力大小一定，在圆形轨道上作匀加速圆周运动，由牛顿第二定律求出速度的表达式；当感生电动势为零时，点电荷不所受电场力，在圆形轨道上作匀速圆周运动．

解答：解：（1）分析可知，点电荷运动到最左端绳子张力最小，设此时速度大小为v
由动能定理-qE₀-2R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

在最左端时qE₀+F=m

v2

R

得F=

m v 2 0 -5qE0R

R

当F≥0时，点电荷能做完整圆周运动，解得E₀≤

m v 2 0

5qR

（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，
对任一点进行受力分析有qv₀B+F′=

m v 2 0

R

得F′=

m v 2 0

R

-qv_oB
当F′≥0时，点电荷能做完整的圆周运动，解得B₀≤

mv0

qR

（3）0至T时间内磁场均匀变化，激发的感生电动势为E，则
E=

△φ

△t

=S

△B

△t

=πR2

(B1-B0)

T

感生电场的场强 E_感=

E

2πR

=

R(B1-B0)

2T

①0～T时间内，磁场均匀增加，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀加速圆周运动，加速度大小a=

qE感

m

=

qR(B1-B0)

2mT

经时间T后，速度大小v₁=v₀+aT=v₀+

qR(B1-B0)

2m

②T～2T时间内磁场不变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v₁不变．
③2T～4T时间内磁场均匀减小，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀
减速圆周运动，加速度大小a′=

qE感

m

=

qR(B1-B0)

4mT

=

a

2

经时间2T后，v₂=v₁-a′（2T）=v₀+

qR(B1-B0)

4mT

-

qR(B1-B0)

2m

=v₀
④4T～5T时间内磁场变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v₀不变．
根据以上结果，作图如下．
答：
（1）电场强度E₀需满足E₀≤

m v 2 0

5qR

．
（2）磁感应强度B₀需满足得B₀≤

mv0

qR

．
（3）0～T时间内，轨道中形成的感生电场E_感的大小为

R(B1-B0)

2T

．点电荷在0～5T时间内v～t图象如图所示．

点评：本题中带电粒子在复合场中做圆周运动时，关键要找出物理的“最高点”，分析临界条件，只要点电荷能通过此点，就能做完整的圆周运动，可与重力场中竖直平面内的圆周运动类比，运用动能定理和牛顿第二定律进行分析求解．