Question

12．质量为m、带电荷量为+q的绝缘小球，穿在半径为 r 的光滑圆形轨道上，轨道平面水平．空间分布有随时间变化的磁场，磁场方向竖直向上，俯视如图甲所示．磁感应强度 B 随时间的变化规律如图乙所示．其中 B0、T0 是已知量．设小球在运动过程中电荷量保持不变，对原磁场的影响可忽略．
（1）若圆环由金属材料制成，求在t=T₀到t=2T₀这段时间内圆环上感应电动势的大小；
（2）若圆环由绝缘材料制成，在t=0到t=T₀这段时间内，小球不受圆形轨道的作用力，求小球的速度的大小 v0；
（3）已知在竖直向上的磁感应强度增大或减少的过程中，将产生漩涡电场，其电场线是在水平面内一系列的沿顺时针或逆时针方向 的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等．其大小为E=$\frac{e}{2πr}$．若t=0时刻小球静止，求t=0到t=3.5T0小球运动的路程和t=3.5T0时小球对轨道的作用力F的大小．（不计小球的重力）

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求解出感应电动势；
（2）在t=0到t=T₀这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，说明洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（3）先根据牛顿第二定律求解加速度，计算出路程，再根据牛顿第二定律求出t=3.5T0时小球对轨道的作用力F的大小

解答 解：（1）t=T₀到t=2T₀这段时间内圆环上感应电动势：?=$\frac{△B}{△t}π{r}_{\;}^{2}=\frac{{B}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}π{r}_{\;}^{2}$
（2）t=0到t=T₀这段时间内，不受环形轨道作用，由牛顿第二定律得：$q{v}_{0}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$      
 则 ${v}_{0}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{m}$
（3）t=0到t=T₀小球静止，t=T₀到t=2T₀这段时间内由 ?=E•2πr知
产生顺时针方向的涡旋电场的场强为：$E=\frac{?}{2πr}=\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{T}_{0}^{\;}}$
小球沿切线方向的加速度大小恒为：$a=\frac{qE}{m}$
小球运动的末速度大小为：${v}_{1}^{\;}=a{T}_{0}^{\;}$
小球运动路程为：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{T}_{0}^{2}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\frac{qr{B}_{0}^{\;}}{2m}$
${x}_{1}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{4m}$
t=2T₀到t=$3{T}_{0}^{\;}$磁感应强度不变，不产生涡旋电场，小球在洛伦兹力作用下做匀速率圆周运动
速率不变为：$v={v}_{1}^{\;}=\frac{qr{B}_{0}^{\;}}{2m}$
这段时间运动的路程为：${x}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{T}_{0}^{\;}$
解得：${x}_{2}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{2m}$
t=3T₀到t=3.5T₀产生与t=T₀到t=2T₀等大反向的涡旋电场，涡旋电场的大小：$E=\frac{?}{2πr}=\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{T}_{0}^{\;}}$
根据牛顿第二定律：$a=\frac{qE}{m}$
$3.5{T}_{0}^{\;}$时刻速度：${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}-a\frac{{T}_{0}^{\;}}{2}$
t=3T₀到t=3.5T₀这段时间内运动的路程：${x}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}\frac{{T}_{0}^{\;}}{2}$
解得：${v}_{2}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{4m}$
    ${x}_{3}^{\;}=\frac{3q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{16m}$
则总路程x=${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}+{x}_{3}^{\;}$=$\frac{15q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{16m}$
t=$3.5{T}_{0}^{\;}$，磁感应强度B=$\frac{3}{2}{B}_{0}^{\;}$
根据牛顿第二定律：$\frac{3}{2}{B}_{0}^{\;}q{v}_{2}^{\;}+{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
解得 ${F}_{N}^{\;}=\frac{5{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{16m}$ 
 则大小为${F}_{N}^{\;}=\frac{5{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{16m}$
答：（1）若圆环由金属材料制成，在t=T₀到t=2T₀这段时间内圆环上感应电动势的大小$\frac{{B}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}π{r}_{\;}^{2}$；
（2）若圆环由绝缘材料制成，在t=0到t=T₀这段时间内，小球不受圆形轨道的作用力，小球的速度的大小 ${v}_{0}^{\;}$为$\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{m}$；
（3）已知在竖直向上的磁感应强度增大或减少的过程中，将产生漩涡电场，其电场线是在水平面内一系列的沿顺时针或逆时针方向 的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等．其大小为E=$\frac{e}{2πr}$．若t=0时刻小球静止，t=0到t=3.5T0小球运动的路程$\frac{15q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{16m}$和t=3.5T0时小球对轨道的作用力F的大小$\frac{5{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{16m}$

点评 本题是有关感应加速器的问题，感生电场的电场力做正功，电场力是恒定大小的力，电荷速率随着时间均匀增加，结合动能定理、电势差与电场强度的关系公式、牛顿第二定律列式求解．