Question

14．同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图所示的实验装置．图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板．M板上部有一半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q为最低点，Q点处的切线水平，距底板高为H．N板上固定有三个圆环．将质量为m的小球从P处静止释放，小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q水平距离为L处．不考虑空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）小球运动到Q点时速度的大小；
（2）小球在Q点对轨道压力的大小和方向；
（3）摩擦力对小球做的功；
（4）距Q水平距离为$\frac{L}{2}$的圆环中心到底板的高度．

Answer 1

分析 （1）根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出Q点的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出Q点的支持力，从而得出压力的大小．
（3）对P到Q的过程运用动能定理，求出摩擦力做功．
（4）根据水平位移求出运动的时间，结合位移时间公式求出下降的高度，从而得出距Q水平距离为$\frac{L}{2}$的圆环中心到底板的高度．

解答 解：（1）竖直方向上有：H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，水平方向上有：L=v_Qt，
联立解得：${v}_{Q}=L\sqrt{\frac{g}{2H}}$．
（2）根据牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{Q}}^{2}}{R}$，
解得：${F}_{N}=mg+\frac{mg{L}^{2}}{2HR}$，
根据牛顿第三定律知，小球在Q点对轨道压力的大小为$mg+\frac{mg{L}^{2}}{2HR}$，方向向下．
（3）从P到Q由动能定理得：$mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-0$，
解得：W_f=$\frac{mg{L}^{2}}{4H}-mgR$．
（4）根据$\frac{L}{2}={v}_{Q}{t}_{1}$，${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，h=H-h₁得联立解得：h=$\frac{3}{4}H$．
答：（1）小球运动到Q点时速度的大小为$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$；
（2）小球在Q点对轨道压力的大小为$mg+\frac{mg{L}^{2}}{2HR}$，方向向下；
（3）摩擦力对小球做的功为$\frac{mg{L}^{2}}{4H}-mgR$；
（4）距Q水平距离为$\frac{L}{2}$的圆环中心到底板的高度为$\frac{3}{4}H$．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．