Question

14．如图所示，在xOy坐标系原点O处有一点状的放射源，它向xOy平面内的x轴上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v₀，在0＜y＜d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，其中q与m分别为α粒子的电量和质量；在d＜y＜2d的区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，mn为电场和磁场的边界线，ab为一块很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x轴，放置于y=2d处，如图所示，观察发现此时恰好无粒子打到ab板上．（不考虑α粒子的重力及粒子间的相互作用）．求：
（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时距y轴的最大距离；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出α粒子刚进人磁场时的动能；
（2）粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小；
（3）沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径大小得出磁场的宽度，从而确定出ab板移动的位置，根据几何关系求出ab板上被α粒子打中的区域的长度．

解答 （1）根据动能定理有：Eqd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
可得：v=2v₀
初速度方向与x轴平行的粒子通过边界mn时距y轴最远，由类平抛知识有：d=$\frac{1}{2}$at²
Eq=ma
x=v₀t
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
（2）根据上题结果，对于沿x轴正方向射出的粒子进入磁场时与x轴正方向夹角为：θ=$\frac{π}{3}$

初速度方向与x轴平行的粒子通过边界mn时距y轴最远，而且与mn之间的夹角最小，
由图可得，若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，
因此此粒子轨迹与ab板相切是临界条件，可得其圆周运动的半径为：r=$\frac{2}{3}$d
又根据洛伦兹力提供向心力，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
（3）由分析可知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．
其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切． 由分析可知此时磁场宽度为原来的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}$d，
则：ab板至少向下移动：△y=$\frac{2}{3}$d
沿x轴正方向射出的粒子打在ab板的位置粒子打在ab板区域的右边界，由几何知识可知：ab板上被粒子打中区域的长度为：
L=2x+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d
答：（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）将ab板至少向下平移△y=$\frac{2}{3}$d的距离才能使所有的粒子均能打到板上，此时ab板上被α粒子打中的区域的长度为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．