Question

4．神舟十号飞船环绕地球做匀速圆周运动的周期为T．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响，求：
（1）地球的质量M；
（2）飞船距离地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，求出地球的质量．
（2）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出飞船离地球表面的高度

解答 解：（1）不考虑地球自转的影响，地球表面的物体受到的重力约等于地球对它的万有引力．设物体的质量为m₀，有：
$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得地球的质量为：
$M=\frac{{R}^{2}g}{G}$
（2）地球对飞船的万有引力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力，有：
$G\frac{M{m}_{\;}}{{（R+h）}^{2}}={m}_{\;}（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：$h=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
答：（1）地球的质量M为$\frac{{R}^{2}g}{G}$；
（2）飞船距离地面的高度h为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两个理论，并能灵活运用，注意飞船的高度和飞船的轨道半径是两个不同的概念．