Question

（2009?天津模拟）2009年3月1日16时13分10秒，中国自主研制的第一个月球探测器（嫦娥一号）成功实现“受控撞月”，为我国探月一期工程画上圆满的句号．
（1）设探测器的质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，“受控撞月”开始前探测器在离月球表面高为h的圆形环月轨道上正常运行．求它在此轨道上正常运行的线速度大小；
（2）假设此次进行“受控撞月”开始的过程按图甲所示进行，探测器在A点向前短时间喷气，减速后的探测器做向心运动沿曲线到达月球表面附近的B点．设探测器到达B点时速度大小为v_B，从A到B的空间范围内的重力加速度大小都近似等于月球表面的重力加速度，喷出的气体相对于月球表面的速度大小为u，求喷出气体的质量；
（3）为了增加撞击效果，撞击前要利用剩余的燃料对探测器进行加速，图乙所示为探测器到达B点时速度方向的示意图，为了使探测器能够沿此方向做加速直线运动，请在图乙中用由坐标原点O出发的有向线段表示出可能的一种发动机喷气方向．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

，月球表面的物体受到的重力等于万有引力G

Mm

R2

=mg．由此两式可解得它在此轨道上正常运行的线速度大小v₀．
（2）从A到B卫星和月球系统的机械能守恒

1

2

mvA2+mgh=

1

2

mvB2，喷气过程中卫星系统的动量守恒，设喷射出气体的质量为△m，mv₀=（m-△m）v_A+△m?u．结合v₀的值，可解得喷出气体的质量△m．
（3）为了使探测器能够沿v_B方向做加速直线运动，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，所以发动机喷气方向在y轴负方向和v_B反方向之间某一条直线上．

解答：解：（1）设月球的质量为M，卫星的线速度为v₀，则
根据万有引力提供向心力G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

-------------①
又月球表面的物体受到的重力等于万有引力G

Mm

R2

=mg---------②
由①②两式得
v0=R

g R+h

---------------------------③
（2）设卫星在A点减速后的速度为v_A
从A到B卫星和月球系统的机械能守恒，所以

1

2

mvA2+mgh=

1

2

mvB2----------------------④
喷气过程中卫星系统的动量守恒，设喷射出气体的质量为△m，所以
mv₀=（m-△m）v_A+△m?u---------------------⑤
由③、④、⑤式解得
△m=

m(R g R+h - vB2-2gh )

u- vB2-2gh

------------------⑥
（3）为了使探测器能够沿v_B方向做加速直线运动，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，
探测器已受月球的引力，沿y周负方向，故发动机的推力一定要在y轴正方向和v_B之间，这样合力才可能沿v_B的方向．
所以发动机喷气方向在y轴负方向和v_B反方向之间某一条直线上．
故由O点出发在y轴负方向和v_B反方向之间的有向线段都正确（不包括y轴负方向和v_B的反方向）．
答：（1）设探测器的质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，“受控撞月”开始前探测器在离月球表面高为h的圆形环月轨道上正常运行．它在此轨道上正常运行的线速度大小为R

g R+h

；
（2）假设此次进行“受控撞月”开始的过程按图甲所示进行，探测器在A点向前短时间喷气，减速后的探测器做向心运动沿曲线到达月球表面附近的B点．设探测器到达B点时速度大小为v_B，从A到B的空间范围内的重力加速度大小都近似等于月球表面的重力加速度，喷出的气体相对于月球表面的速度大小为u，喷出气体的质量为

m(R g R+h - vB2-2gh )

u- vB2-2gh

；
（3）为了增加撞击效果，撞击前要利用剩余的燃料对探测器进行加速，图乙所示为探测器到达B点时速度方向的示意图，为了使探测器能够沿此方向做加速直线运动，在图乙中用由坐标原点O出发的有向线段表示出可能的一种发动机喷气方向如上图所示．

点评：本题解题的关键是两个理论的应用：1．万有引力提供向心力，即G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

；2．万有引力近似等于重力，G

Mm

R2

=mg．