Question

12．在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子的重力，求：
（1）M、N两点间的电势差U_MN；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t．

Answer 1

分析 粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由N到达P做圆周运动．用动能定理即可求得电场中MN两点间的电势差．
根据几何关系求得粒子转动的圆心角，再由圆周运动的性质明确磁场中的运动时间．总时间为电场中的运动时间与磁场中运动时间之和．

解答 解：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，将到达N点的速度分解得知
vcosθ=v₀，
解得，粒子离开电场时的速度大小v=2v₀．
从M→N过程，由动能定理得：
qU_MN=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入解得，U_MN=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$
（2）粒子进入第四象限后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：R=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）画出轨迹如图，由几何知识得：ON=Rsin60°
粒子从M点到N点的时间为：t₁=$\frac{ON}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
粒子从N到P所用的时间：t₂=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}$$\frac{2πm}{qB}$
故有：t=t₁+t₂=$\frac{（3\sqrt{3}+2π）m}{3qB}$
答：
（1）M、N两点间的电势差U_MN为$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t为$\frac{（3\sqrt{3}+2π）m}{3qB}$．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．