Question

如图所示，放置在光滑水平面上的长木板，其上表面与左侧竖直平面内的光滑圆弧轨道底端B相切，木板长度l=1.2 m，质量M=2 kg。与圆弧轨道末端相距d=1.6 m的C处有一竖直墙。质量m=2 kg的小滑块从圆弧轨道顶端A由静止滑下，离开B后在木板上滑行。已知圆弧轨道半径R=0.2 m，滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.2，木板与左右两侧发生碰撞后能原速率返回。(g取10 m/s²)试求

(1) 滑块滑至圆弧轨道底端B时对轨道的压力N

(2) 滑块最终位置与竖直墙间的距离S

(3) 整个过程中产生的热量Q

Answer 1

(1) 滑块下滑过程，由机械能守恒定律得

mgR=mv²……………………………………………………………………（2分）

v=m/s=2 m/s

由向心力公式得

N′-mg=m…………………………………………………………………………（1分）

解得N′=mg+m=2×10+2×N=60 N

根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力N=60 N…………………………………（1分）

(2) 由牛顿第二定律，滑块做减速运动的加速度大小为

a₁=μg=0.2×10 m/s²=2 m/s²…………………………………………………………（1分）

木板加速运动的加速度大小为

a₂= =0.2×10 m/s²=2 m/s²…………………………………………………（1分）

滑块向右滑动至与木板速度相同过程所用时间设为t，则有

v-a₁t=a₂t

解得t=0.5 s

共同运动速度v′=a₂t=1 m/s

这段时间内滑块位移大小s₁=vt-a₁t²=2×0.5-×2×0.5² m=0.75 m

木板位移大小s₂=a₂t²=×2×0.5² m=0.25 m

因为S₂＜d-l，所以滑块相对木板滑行0.5 m后，与木板共同向右做匀速运动，直到木板与墙发生碰撞。………………………………………………………………（3分）

设碰撞后至滑块与木板达到共同速度时间为t′，则有

v′-a₁t′=-v′+a₂t′

解得t′=0.5 s

滑块和木板与墙碰撞后向左运动的最终共同速度为v″=v′-a₁t′=0

这段时间内滑块向右运动位移大小为S₁′=v′t′=0.25 m

木板向左运动位移大小为S₂′=v′t′=0.25 m

由于S₁′+S₂′＜l-(S₁-S₂)，滑块最终静止在木板上……………………………（3分）

由几何关系判断，滑块最终位置离墙的距离为S=l-(s₁-s₂)-s′₁=0.45 m………………

……………………………………………………………………………………（1分）

(3) 由功能关系，整个过程中产生的热量为

Q=mgR=2×10×0.2 J=4 J……………………………………………………………（3分）