Question

如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道竖直固定放置，质量为m 的小球在圆形轨道内侧做圆周运动．小球通过轨道最高点时恰好与轨道间没有相互作用力．已知当地的重力加速度大小为g，不计空气阻力．试求：
（1）小球通过轨道最高点时速度的大小；
（2）小球通过轨道最低点时角速度的大小；
（3）小球通过轨道最低点时受到轨道支持力的大小．

Answer 1

分析：（1）小球通过轨道最高点时恰好与轨道间没有相互作用力，故由重力提供向心力，根据圆周运动向心力公式即可得出最高点的速度；
（2）可以根据动能定理求出最低点的速度，再根据速度和角速度的关系即可求出角速度；
（3）在最低点由支持力和重力的合力提供向心力，根据圆周运动向心力公式即可求得支持力的大小．

解答：解：（1）设小球通过轨道最高点时速度的大小为v₁，根据题意和圆周运动向心力公式得：
                mg=m

v12

R

             解得：v₁=

gR

   （2）设小球通过轨道最低点的速度大小为v₂，从最高点到最低点的过程中运用动能定理得：
           2mgR=

1

2

mv22 -

1

2

mv12   ①
           v₂=ωR                   ②
          由①②解得：ω=

5g R

   （3）设小球通过轨道最低点时受到轨道支持力大小为F_N，根据圆周运动向心力公式得：
          F_N-mg=m

v22

R

           ③
         由①③解得：F_N=6mg
答：（1）小球通过轨道最高点时速度的大小为

gR

；（2）小球通过轨道最低点时角速度的大小为

5g R

；（3）小球通过轨道最低点时受到轨道支持力的大小为6mg．

点评：该题是动能定理及圆周运动向心力公式的直接应用，要抓住恰好到达最高点的隐含条件是由重力来提供向心力，难度不大，属于基础题．