Question

（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA上某点P施加一竖直向下的力F，令，求桌面对桌腿1的压力F₁。

   

Answer 1

解析：

设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为、、、．因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得

．                           (1)

由于对称性，

．          (2)

考察对桌面对角线BD的力矩，由力矩平衡条件可得

．     (3)

根据题意， ，c=0对应于力F的作用点在O点，c=1对应于F作用点在A点。

设桌腿的劲度系数为, 在力F的作用下，腿1的形变为，腿2和4的形变均为，腿3的形变为．依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足, 即

．   (4)

由(1)、(2)、(3)、(4)式，可得

，   (5)

，   (6)

当时，.，表示腿3无形变；，表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视．此时(2)式(3)式仍成立．由(3)式，可得

．                                                       (7)

综合以上讨论得

,      .                     (8)

 ，        .                     (9)

评分标准：本题20分。

    (1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的结果得4分，得到由(9)式表示的结果得5分。