用
m表示A、B和C的质量。
(1)当物块A以初速度
v0向右运动时,它因受C给它的滑动摩擦力做匀减速直线运动,而它作用于C的摩擦力不足以使B、C产生相对滑动,即B、C以相同加速度做匀加速直线运动。物块A、B发生碰撞的临界情况是:物块A运动到物块B所在处时,A、B速度相等。
在临界状况下,因为B与木板C的速度始终相等,所以A、B即将碰撞时,A、B、C三者速度均相同,设为
v1。由动量守恒定律有
mv0=3
mv1 ①
在此过程中,设木板C 运动的路程为
s1,则物块A运动的路程为
s1+
L,由功能原理得:
②
解①、②得:
故A与B发生碰撞的条件是:
(2)当物块A的初速度
时,A、B将发生碰撞,物块B与档板P发生碰撞的临界情况是:物块B运动到档板P所在处时,B、C的速度相等。同(1)中结论,在临界状况下,当B运动到档板P处时,A、B、C三者速度相等,设此速度为
v2,根据动量守恒定律得:
mv0=3
mv2 ③
设A、B碰撞前瞬间,A、B、C速度分别为
vA、
vB和
vC,则
vA>
vB,
vB=
vC。
在A、B碰撞的极短时间内,A、B构成的系统的动量近似守恒,而木板C的速度保持不变,因为A、B间的碰撞是弹性的,即系统机械能守恒,又物块A、B质量相等,故易得:碰撞后A、B速度交换,设碰撞刚结束时A、B、C三者的速度分别为
vAˊ、
vBˊ、
vCˊ,则
vAˊ=
vB,
vBˊ=
vA,
vCˊ=
vC,刚碰撞后A、B、C的运动与(1)类似,只是A、B的运动进行了交换,由此易分析:在整个运动过程中,先是A相对C运动的路程为
L,接着是B相对C运动的路程为
L,整个系统的动能转变为内能。类似(1)中方程得
④
联立③、④解之,得:
故A与B相撞,B再与P相撞的条件是:
(3)当物块A的初速度
时,B将与档板P相撞,撞后A、B、C的运动可由(2)中运动类比得到:B、P碰撞后瞬间,物块A、B速度相同,木板C速度最大,然后C以较大的加速度向右做减速运动,而物块A和B以相同的较小加速度向右做加速运动,加速过程将持续到或者A、B与C速度相同,三者以相同速度
向右做匀速运动,或者木块A从木板C上掉了下来,因此物块B、A在木板C上不可能再发生碰撞。
(4)若A刚刚没从木板C上掉下来,即A到达C的左端时的速度变为与C相同,这时三者的速度皆相同,以
v3表示,由动量守恒有
3
mv3=
mv0 ⑤
从A以初速度
v0在木板C的左端开始运动,经过B与P相碰,直到A刚没从木板C的左端掉下来,这一整个过程中,系统内部先是A相对C运动的路程为L,接着B相对C运动的路程也是L,B与P碰后直到A刚没从木板C上掉下来,A与B相对C运动的路程也皆为L,整个系统动能的改变应等于内部相互滑动摩擦力做功的代数和。
即:
(3
m)
v32-
mv02 =
-μmg·4
L ⑥
由⑤⑥两式得:
故A从C掉下的条件是:
(5)当物块A的初速度
时,A将从木板C上掉下来。设A刚从木板C上掉下来时,A、B、C三者的速度分别为
vA″,
vB″,
vC″,有
vA″=
vB″<
vC″,这时⑤式应改写成
mv0=2
m vA″+
mvC″ ⑦
⑥式应改写成:
(2
m)
vB″
2+
mv″
C2-
mv0=-
μmg·4
L ⑧
当物块A掉下C后,物块B从木板C掉下的临界情况是:当C在左端赶上B时,B与C的速度相等,设此速度为
v4则由动量守恒定律可得:
mvB″+
mvC″=2
mv4 ⑨
再对B、C系统从A掉下C到B掉下C的过程用动能定律:
(2
m)
v42 —
(
mv″
B2+
mvC″
2)= -
μmgL ⑩
联立⑦⑧⑨⑩,注意到
vA″=
vB″<
vC″,可解得:
,
,
故物块B从木板C上掉下的条件是: