Question

（1）物块A与B发生碰撞。
（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与档板P发生碰撞。
（3）物块B与档板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上再发生碰撞。
（4）物块A从木板C上掉下来。
（5）物块B从木板C上掉下来。

Answer 1

（1）A与B发生碰撞的条件是：
(2) A与B相撞，B再与P相撞的条件是：
(3)物块A的初速度 时, 物块B、A在木板C上不可能再发生碰撞
(4) A从C掉下的条件是：
(5)物块B从木板C上掉下的条件是：

用m表示A、B和C的质量。
（1）当物块A以初速度v₀向右运动时，它因受C给它的滑动摩擦力做匀减速直线运动，而它作用于C的摩擦力不足以使B、C产生相对滑动，即B、C以相同加速度做匀加速直线运动。物块A、B发生碰撞的临界情况是：物块A运动到物块B所在处时，A、B速度相等。
在临界状况下，因为B与木板C的速度始终相等，所以A、B即将碰撞时，A、B、C三者速度均相同，设为v₁。由动量守恒定律有
mv₀=3mv₁   ①
在此过程中，设木板C 运动的路程为s₁，则物块A运动的路程为s₁+L，由功能原理得：
      ②
解①、②得：   
故A与B发生碰撞的条件是： 
（2）当物块A的初速度时，A、B将发生碰撞，物块B与档板P发生碰撞的临界情况是：物块B运动到档板P所在处时，B、C的速度相等。同（1）中结论，在临界状况下，当B运动到档板P处时，A、B、C三者速度相等，设此速度为v₂，根据动量守恒定律得：
mv₀＝3mv₂       ③
设A、B碰撞前瞬间，A、B、C速度分别为v_A、v_B和v_C，则v_A>v_B，v_B=v_C。
在A、B碰撞的极短时间内，A、B构成的系统的动量近似守恒，而木板C的速度保持不变，因为A、B间的碰撞是弹性的，即系统机械能守恒，又物块A、B质量相等，故易得：碰撞后A、B速度交换，设碰撞刚结束时A、B、C三者的速度分别为v_Aˊ、v_Bˊ、v_Cˊ，则v_Aˊ＝v_B，v_Bˊ＝v_A，v_Cˊ＝v_C，刚碰撞后A、B、C的运动与（1）类似，只是A、B的运动进行了交换，由此易分析：在整个运动过程中，先是A相对C运动的路程为L，接着是B相对C运动的路程为L，整个系统的动能转变为内能。类似（1）中方程得
      ④     
联立③、④解之，得：
故A与B相撞，B再与P相撞的条件是：
（3）当物块A的初速度 时，B将与档板P相撞，撞后A、B、C的运动可由（2）中运动类比得到：B、P碰撞后瞬间，物块A、B速度相同，木板C速度最大，然后C以较大的加速度向右做减速运动，而物块A和B以相同的较小加速度向右做加速运动，加速过程将持续到或者A、B与C速度相同，三者以相同速度向右做匀速运动，或者木块A从木板C上掉了下来，因此物块B、A在木板C上不可能再发生碰撞。
(4)若A刚刚没从木板C上掉下来，即A到达C的左端时的速度变为与C相同，这时三者的速度皆相同，以v₃表示，由动量守恒有
                      3mv₃=mv₀                      ⑤
从A以初速度v₀在木板C的左端开始运动，经过B与P相碰，直到A刚没从木板C的左端掉下来，这一整个过程中，系统内部先是A相对C运动的路程为L，接着B相对C运动的路程也是L，B与P碰后直到A刚没从木板C上掉下来，A与B相对C运动的路程也皆为L，整个系统动能的改变应等于内部相互滑动摩擦力做功的代数和。
即：(3m)v₃²-mv₀² =-μmg·4L ⑥
由⑤⑥两式得：
故A从C掉下的条件是：
（5）当物块A的初速度时，A将从木板C上掉下来。设A刚从木板C上掉下来时，A、B、C三者的速度分别为v_A″, v_B″, v_C″，有v_A″＝v_B″＜v_C″，这时⑤式应改写成
mv₀=2m v_A″+mv_C″          ⑦
⑥式应改写成：  (2m)v_B″²+mv″_C²-mv₀=-μmg·4L    ⑧
当物块A掉下C后，物块B从木板C掉下的临界情况是：当C在左端赶上B时，B与C的速度相等，设此速度为v₄
则由动量守恒定律可得：  mv_B″+ mv_C″＝2mv₄            ⑨
再对B、C系统从A掉下C到B掉下C的过程用动能定律：
(2m)v₄² —（mv″_B²+mv_C″²）= -μmgL    ⑩
联立⑦⑧⑨⑩，注意到v_A″＝v_B″＜v_C″，可解得：
，，

故物块B从木板C上掉下的条件是：