Question

（2007?浙江）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂．现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场．已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处．求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°．

Answer 1

分析：先根据机械能守恒定律求出小球返回最低点的速度，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，对速度表达式分析，求出碰撞n次后的速度表达式，再根据机械能守恒定律求出碰撞n次后反弹的最大角度，结合题意讨论即可．

解答：解：设小球m的摆线长度为l
小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02①
m和M碰撞过程是弹性碰撞，故满足：
mv₀=MV_M+mv₁ ②

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2  ③
联立 ②③得：v1=

m-M

m+M

v0  ④
说明小球被反弹，且v₁与v₀成正比，而后小球又以反弹速度和小球M再次发生弹性碰撞，满足：
mv₁=MV_M1+mv₂ ⑤

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12⑥
解得：
v2=

m-M

m+M

|v1| ⑦
整理得：
v2=-(

m-M

m+M

)2v0⑧
故可以得到发生n次碰撞后的速度：
vn=|(

m-M

m+M

)nv0|⑨
而偏离方向为45⁰的临界速度满足：
mgl(1-cos450)=

1

2

mv临界2⑩
联立①⑨⑩代入数据解得，当n=2时，v₂＞v_临界
当n=3时，v₃＜v_临界
即发生3次碰撞后小球返回到最高点时与竖直方向的夹角将小于45°．

点评：本题关键求出第一次反弹后的速度和反弹后细线与悬挂点的连线与竖直方向的最大角度，然后对结果表达式进行讨论，得到第n次反弹后的速度和最大角度，再结合题意求解．