Question

2．如图甲所示，一对平行轨道固定放置在水平面上，两轨道间距为L．电阻为R₀有一个质量为m的导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直．杆及轨道的电阻皆可忽略不计．整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道面．现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得拉力F与时间t的关系如图乙所示，其中直线的斜率k=$\frac{g{B}^{2}{L}^{2}}{R}$，g为重力加速度．在T时刻将拉力撤去，杆从撤力开始，经过时间$\frac{T}{3}$停止运动．求：
（1）杆与轨道间的动摩擦因素；
（2）整个过程中杆克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）分析杆受力情况，根据牛顿第二定律列式可求得动摩擦因数；
（2）根据位移公式及牛顿第二定律等进行分析，联立可求得电量的表达式，则可求得位移，由功的公式即可求得克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）设t时刻杆的速度为v，加速度为a；
则由牛顿第二定律可得；F-μmg-BIL=ma
电流I=$\frac{BLv}{R}$
v=at
解得：F=ma+μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}at$
因直线方程为：F=1.5mg+$\frac{g{B}^{2}{L}^{2}t}{R}$
解得：μ=0.5；a=g；
（2）设在T时间内杆的位移为x₁，T时刻速度为v₁；
x₁=$\frac{1}{2}$aT²=$\frac{1}{2}g{T}^{2}$
v₁=aT=gT
撤去拉力后杆运动的位移为x₂，通过的电量为q；
因为：BIL+μmg=ma=m$\frac{△v}{△t}$
所以有：BIL△t+μmg△t=m△v
则有：BLq+μmg$\frac{T}{3}$=mv₁
BLq=$\frac{5}{6}$mgT
解得：q=$\frac{BL{x}_{2}}{R}$
所以有：
x₂=$\frac{5mgTR}{6{B}^{2}{L}^{2}}$
W_f=μmg（x₁+x₂）=$\frac{m{g}^{2}T}{12}$（3T+$\frac{5m{R}^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$）
答：（1）杆与轨道间的动摩擦因素为0.5；
（2）整个过程中杆克服摩擦力所做的功为$\frac{m{g}^{2}T}{12}$（3T+$\frac{5m{R}^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$）

点评 本题是一道电磁感应与力学、电学相结合的综合题；要分析清楚滑杆的运动过程，应用运动的合成与分解、E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律、平衡条件、能量守恒定律即可正确解题．