Question

地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R，运转周期为T．地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）．当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．该行星的最大视角为θ，如图所示．求该行星的轨道半径和运转周期．

Answer 1

分析：根据题意知道当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切，运用几何关系求解轨道半径．
地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力分别列出等式，解出周期，然后两个周期相比求解．

解答：解：由几何知识可知，当视线与行星轨道相切时视角最大，所以行星轨道半径r=Rsinθ；
设太阳质量为M，地球周期为T，行星周期为T₁，
对地球：G

Mm

R2

=m(

2π

T

)2R
对行星：G

Mm′

r2

=m′(

2π

T

)2r
联立解之得T₁=T

sin3θ

答：该行星的轨道半径为Rsinθ，运转周期为T

sin3θ

．

点评：向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或要求解的物理量选取应用．要注意物理问题经常要结合数学几何关系解决．正确作图是解题的关键．