Question

如图，在xoy坐标平面的第一象限内有一沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场．现有一质量为m、电量为+q的粒子（重力不计）从坐标原点O以速度大小为v₀射入磁场，其入射方向与x轴的正方向成30°角．当粒子第一次进入电场后，运动到电场中P点处时，方向与x轴正方向相同，P点坐标为〔（2

3

+1）L，L〕．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）粒子运动到P点时速度的大小为v；
（2）匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B；
（3）粒子从O点运动到P点所用的时间t．

Answer 1

分析：（1）带电粒子以与x轴成30°垂直进入匀强磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，接着又以与x轴成30°进入匀强电场，当到达P点时速度恰好与x轴平行．由粒子在电场O点的速度分解可求出到P点时速度的大小v．
（2）粒子从离开磁场到运动到P点的过程中，运用动能定理求解电场强度．
由类平抛运动与圆周运动结合几何关系可求出圆弧对应的半径，根据粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力可算出磁感应强度．
（3）由磁场中粒子的周期公式及电场中运动学公式可求出粒子从O点到P点的时间t．

解答：解：（1）粒子运动轨迹如图所示，OQ段为圆周，QP段为抛物线，粒子在Q点时的速度大小为v₀，根据对称性可知，方向与x轴正方向成30°角，可得：v=v₀cos30°
解得：v=

3

2

v0
（2）在粒子从Q运动到P的过程中，由动能定理得：
  -qEL=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：E=

m v 2 0

8qL

，
水平方向的位移为：xQp=

3

2

v0t1
竖直方向的位移为：y=

1

2

v0sin30°t1=L
可得：xQP=2

3

L，OQ=x_OP-x_QP=L
由OQ=2Rsin30°，故粒子在OQ段圆周运动的半径R=L
根据牛顿第二定律得：qv0B=m

v 2 0

R

解得：B=

mv0

qL

（3）粒子从O点运动到Q所用的时间为：t1=

1

6

×

2πR

v0

=

πL

3v0

，
设粒子从Q到P所用时间为t₂，在竖直方向上有：t2=

L

vy/2

=

4L

v0

，
则粒子从D点运动到P点所用的时间为：t总=t1+t2=

(12+π)L

3v0

答：（1）粒子运动到P点时速度的大小为v为

3

2

v0；
（2）匀强电场的电场强度E为

m v 2 0

8qL

，匀强磁场的磁感应强度B为

mv0

qL

；
（3）粒子从O点运动到P点所用的时间t为

(12+π)L

3v0

．

点评：本题也可将粒子的运动轨迹逆向思考，看成粒子在电场中以一定速度做类平抛运动后，进入匀强磁场中做匀速圆周运动．