Question

7．如图所示，直线MN上方有垂直于纸面向外的足够大的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，正、负电子同时从O点与MN成30°角的相同速度v射入该磁场区域（电子质量为m，电荷量为e），经一段时间后从边界MN射出，求：
（1）电子在磁场中运动时的轨道半径？
（2）它们从磁场中射出时，出射点间的距离；
（3）它们从磁场中射出的时间差．

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力，结合牛顿第二定律即可求出半径；
（2）结合几何关系两粒子离开磁场时的距离，则可求出出射点的距离；
（3）根据两粒子在磁场中转动的时间可知时间差．

解答 解：（1）正、负电子在匀强磁场中圆周运动半径相同但绕行方向不同，分别作出正、负电子在磁场中运动的轨迹如图所示．
由$Bev=\frac{{m{v^2}}}{R}$得：R=$\frac{mv}{Be}$
（2）由图，射出点距离为：PQ=4Rsinθ
T=$\frac{2πm}{eB}$
所以：θ=30°
如图可知，两粒子离开时距O点均为R，
所以出射点相距为：L=2R=$\frac{2mv}{eB}$
（3）由$T=\frac{2πr}{v}$得：$T=\frac{2πm}{Be}$
负电子在磁场中运动时间：${t_1}=\frac{2π-2θ}{2π}T=\frac{5}{6}T$
正电子在磁场中运动时间：${t_2}=\frac{2θ}{2π}T=\frac{1}{6}T$
所以两个电子射出的时间差：$△t={t_1}-{t_2}=\frac{4πm}{3Be}$
答：（1）电子在磁场中运动时的轨道半径是$\frac{mv}{Be}$．
（2）它们从磁场中射出时，出射点间的距离为$\frac{2mv}{eB}$；
（3）它们从磁场中射出的时间差为$\frac{4πm}{3eB}$．

点评 带电粒子在电场中的运动关键在于由几何关系找出圆心和半径，再由洛仑兹力充当向心力及圆的性质可得出几何关系及转动时间．