Question

如图所示，A是置于光滑水平面上的表面绝缘、质量m₁=1kg的小车，小车的左端放置有一个可视为质点的、质量m₂=2kg、电荷量q=+1×10^-4 C的小物块B，距小车右端s=2m处有一竖直的墙壁．小车所在空间有一个可以通过开关控制其有、无的水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E=3×10⁴N/C．若小车A和小物块B一起由静止开始运动，且在小车与墙壁碰撞的瞬间撤去电场；碰撞时间忽略不计，碰撞过程无机械能的损失；小物块B始终未到达小车A的右端，它们之问的动摩擦因数μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．小车不带电，g取10m/s²．求：
（1）有电场作用时小车A所受的摩擦力大小和方向？
（2）小车A第一次与墙壁相碰后向左运动的最远距离为多少？
（3）小车A第二次与墙壁相碰时的速度为多少？
（4）要使小物块B最终不滑离小车A，小车的长度至少多长？

Answer 1

解：（1）假设小车A与小物块B相对静止，以A、B整体为研究对象
由牛顿第二定律得qE=（m₁+m₂）a
解得a=1 m/s²
再以小车A为研究对象，设它受到的静摩擦力为F_BA，A、B之间的最大静摩擦力为F_max，
由牛顿第二定律得F_BA=m₁a=1N，F_max=μm₂g=4N
因F_BA＜F_max，故假设成立．小车A所受的摩擦力大小为1N，方向水平向右
（2）设小车A和小物块B第一次与墙壁相碰前瞬间的速度为v₀．
由运动学规律有v₀²=2as
解得v₀=2m/s
小车A与墙壁相碰后瞬间速度大小不变，方向向左，小物块B速度不变．由于B的动量大于A的动量，因此A向左做匀减速运动的速度减为零时，向左运动的距离最远，设这个距离为s₁
由动能定理有
解得s₁=0.5m
（3）接着小车A又向右做初速度为零的匀加速运动，假设小车A和小物块B先达到共同速度后再与墙壁相碰，且设第二次与墙壁相碰前瞬间的速度为v_共．
由动量守恒定律得m₂v₀-m₁v₀=（m₁+m₂）v_共
解得
设小车A由速度为零到达到共同速度所通过的距离为s₂
由动能定理有
解得，所以，假设成立
（4）小车A与小物块B最终将停止在墙角处，设小车至少长L
由能量守恒定律得
代入数据得L=1.5 m
答：（1）有电场作用时小车A所受的摩擦力大小为1N，方向水平向右；（2）小车A第一次与墙壁相碰后向左运动的最远距离为0.5m；（3）小车A第二次与墙壁相碰时的速度为；（4）要使小物块B最终不滑离小车A，小车的长度至少为1.5 m．
分析：（1）假设小车A与小物块B相对静止，以A、B整体为研究对象解得加速度，再以小车A为研究对象，设它受到的静摩擦力为F_BA，A、B之间的最大静摩擦力为F_max，若F_BA＜F_max，则假设成立，反之则小车受滑动摩擦力，可根据公式求解；
（2）设出小车A和小物块B第一次与墙壁相碰前瞬间的速度，由运动学规律求出速度，碰撞过程无机械能的损失，则小车A与墙壁相碰后瞬间速度大小不变，方向向左，小物块B速度不变，因此A向左做匀减速运动的速度减为零时，向左运动的距离最远，根据动能定理可以求出最远距离；
（3）接着小车A又向右做初速度为零的匀加速运动，假设小车A和小物块B先达到共同速度后再与墙壁相碰，且设第二次与墙壁相碰前瞬间的速度为v_共，由动量守恒定律求出共同速度，设小车A由速度为零到达到共同速度所通过的距离，根据动能定理可以求出整个距离，如果这个距离小于最远距离，则假设成立；
（4）小车A与小物块B最终将停止在墙角处，设小车至少长L，整个过程运用动能定理就可以求出小车的最小长度．
点评：该题是相对运动的典型例题，要认真分析两个物体的受力情况，正确判断两物体的运动情况，题中又涉及到电场力，难度增大了，在解题过程中要学会用假设法，使解题变的简单，适当选取研究对象和研究过程会使复杂的问题简单化，该题难度较大，属于难题．