Question

（07全国理综Ⅱ）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5 mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

Answer 1

解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得

mgh＝2mgR＋mv²                            ①

物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力，有：       mg＋N＝m                                 ②

物块能通过最高点的条件是：N≥0                          ③

由②③式得：v≥                                     ④

由①④式得：h≥2.5R                                      ⑤

按题的需求，N＝5mg，由②式得：v＜                 ⑥

由①⑥式得：h≤5R                                        ⑦

h的取值范围是：2.5R≤h≤5R