Question

3．如图所示，平面直角坐标系xOy第一象限AB区域内分布沿x轴负向的匀速强电场，电场强度E₁=1×10⁴V/m，电场宽度d=0.01m，C为抛物线，y轴为其对称轴，原点为其顶点，在抛物线C和y轴之间存在沿y轴负向的匀强电场，电场强度E₂=8×10²V/m，在整个第三象限存在垂直纸面向里的匀速磁场，磁感应强度B=1×10^-2T，在电场E₁的右边界处有大量正离子，在电场的作用下由静止开始运动，离子的比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷C/kg，发现位置P（5，2）处的离子经加速后进入电场E₂偏转后恰好经过原点，不计离子间的相互作用和重力，求：
（1）离子刚进入电场E₂时的速度大小v₀；
（2）证明通过两电场的离子都能到达原点；
（3）离子经磁场偏转后到达y轴的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做加速运动，由动能定理可求得粒子离开电场时的速度；
（2）根据牛顿第二定律可求得粒子在竖直方向上的加速度，再根据平抛运动规律即可证明粒子能否到达O点；
（3）根据极限法进行分析，明确粒子能到达的最大距离，从而确定粒子所在的位置．

解答 解：（1）粒子在电场E₁中加速，根据动能定理可知：
E₁qd=$\frac{1}{2}$mv²
解得：
v=1×10⁵m/s；
（2）粒子在E₂中的加速度a=$\frac{{E}_{2}q}{m}$=8×10²×5×10⁷=4×10⁹m/s
因（5，2）点的粒子恰好经过原点，则有：
x=vt
y=$\frac{1}{2}$at²
则可知抛物线的表达式为：y=0.8x²；
由于从不同点进入的粒子的水平位移和竖直位移均满足该公式，则说明所有粒子均可以达到O点；
（3）粒子进入磁场后，做匀速圆周运动，当粒子水平进入磁场时，到达y轴上的距离最大，
由Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可知
R=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1×1{0}^{5}}{1×1{0}^{-2}×5×1{0}^{7}}$=0.2m；
故到达的最远距离为0.4m；
故粒子在0-0.4m的范围内．
答：（1）离子刚进入电场E₂时的速度大小v₀为1×10⁵m/s
（2）证明如上；
（3）离子经磁场偏转后到达y轴的范围为0-0.4m．

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动规律分析，要注意明确带电粒子在电场中做类平抛运动，优先应用动能定理进行分析，而在磁场中要注意明确几何关系的应用，同时注意多个粒子运动时边界的确定．