Question

4．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置．两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg．求：
（1）a、b两球落地点间的距离；
（2）a、b两球通过光滑半圆管最低点B时圆管对a、b两球的弹力如何？
（3）a、b两球通过光滑半圆管水平半径右端点C时圆管对a、b两球的弹力如何？

Answer 1

分析 （1）小球在A点所受合力提供圆周运动向心力，据此求得两小球离开A点时的速度大小，再根据平抛运动知识求两球落地点间的水平距离；
（2）根据动能定理求得两小球在B点时的速度大小，再根据合力提供圆周运动向心力求得圆管对两球小球的弹力大小；
（3）根据动能定理求得小球在C时的速度大小，根据合外力提供圆周运动向心力求得圆管对两小球的弹力大小．

解答 解：（1）由题意知a小球在A点受到圆管上部对其向下的压力3mg，根据合外力提供圆周运动向心力有
mg+3mg=$m\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
可得v_a=$2\sqrt{gR}$
对b小球受下管向上的支持力0.75mg，据合力提供圆周运动向心力有：
$mg-0.75mg=m\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$
可得v_b=$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
两小球离开A均做平抛运动，故由平抛知识可知两小球落地时的距离
$△x=（{v}_{a}-{v}_{b}）\sqrt{\frac{2•2R}{g}}$=3R
（2）对a球根据动能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{a}^{′}}^{2}$    ①
在B点满足：${N}_{a}-mg=m\frac{{{v}_{a}^{′}}^{2}}{R}$     ②
由①②两式解得N_a=9mg
对b球根据动能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{b}^{′}}^{2}$      ③
${N}_{b}-mg=m\frac{{{v}_{b}^{′}}^{2}}{R}$          ④
由③④两式解得N_b=$\frac{21}{4}mg$
（3）小球a由C到A根据动能定理有：
$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{a}^{″}}^{2}$      ⑤
水平方向的合力提供圆周运动向心力有：
${N}_{a}′=m\frac{{{v}_{a}^{″}}^{2}}{R}$      ⑥
由⑤⑥两式解得${N}_{a}^{″}$=6mg
小球b由C到A根据动能定理有：
$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{b}^{″}}^{2}$        ⑦
水平方向的合力提供圆周运动向心力有：
${N}_{b}″=m\frac{{{v}_{b}^{″}}^{2}}{R}$         ⑧
由⑦⑧两式解得${N}_{b}^{″}$=$\frac{9mg}{4}$
答：（1）a、b两球落地点间的距离为3R；
（2）a、b两球通过光滑半圆管最低点B时圆管对a、b两球的弹力分别为9mg，$\frac{21}{4}mg$；
（3）a、b两球通过光滑半圆管水平半径右端点C时圆管对a、b两球的弹力分别为：6mg，$\frac{9mg}{4}$．

点评 小球在指向圆心方向的合外力提供小球圆周运动的向心力，能根据动能定理求得小球在不同位置的速度是解决本题的关键．