Question

（2005?卢湾区模拟）如图所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框abcd固定于水平面上，导线框边长ab=L，bc=2L，整个线框处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感强度为B．导线框上各段导线的电阻与其长度成正比，已知该种电阻丝单位长度上的电阻为λ，λ的单位是Ω/m．今在导线框上搁置一个与ab边平行地且与导线框接触良好的金属棒MN，MN的电阻为r，其材料与导线框的材料不同，如图所示．金属棒MN在外力作用下沿x轴正方向作速度为v的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（该处x=0）运动到导线框最右端的过程中：
（1）请写出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关系式；
（2）试证明当金属棒运动到bc段中点时，MN两点间电压最大，并请写出最大电压U_m的表达式；
（3）试求出在此过程中，金属棒提供的最大电功率P_m；
（4）试讨论在此过程中，导线框上消耗的电功率可能的变化情况．

Answer 1

分析：（1）金属棒在外力作用下沿x轴正方向匀速运动的过程中，产生的感应电动势为E=BLv．根据串、并联关系求出外电路总电阻与x的关系，由闭合电路欧姆定律得到感应电流I与x的函数关系式．
（2）根据外电路总电阻表达式，分析外电路总电阻最大时，MN间的电压最大，此时MN运动到bc、ad两边的中线，求出感应电流，由欧姆定律求得M、N间电压最大值U_m．
（3）当外电路电阻等于电源的内阻时，MN输出功率最大，由功率公式求出最大输出功率P_m．
（4）根据外电阻与MN内阻大小关系，分情况进行讨论分析．

解答：解：（1）MN产生的感应电动势 ?=BLv   
由闭合电路欧姆定律得：I=

?

r+R

=

BLv

r+ λ(L+2x)(5L-2x) 6L

=

6BL2v

6Lr+λ(L+2x)(5L-2x)

       
（2）M、N两点间电压U=?-Ir，当外电路电阻最大时，I最小，U有最大值U_m．
外电路总电阻R=

λ(L+2x)(5L-2x)

6L

，
由数学知识得知：当L+2x=5L-2x，即x=L时，R有最大值
∴x=L时，即金属棒在bc中点时M、N两点间电压有最大值，得证．           
最大电压为 U_m=IR=

3BL2vλ

2r+3λL

（3）当R=rL时，MN的输出功率最大，
P_m=

?2

5 6 Lλ+r

=

6?2

5Lλ+6r

=

6(BLv)2

5Lλ+6r

（4）外电路电阻最小值为 R_min=λ

L?5L

L+5L

=

5

6

Lλ，最大值为 R_max=λ

3L?3L

3L+3L

=

3

2

Lλ
当r＜R_min，即r＜

5

6

Lλ时，导线框上消耗的电功率先变小，后变大；    
当R_min＜r＜R_max，即

5

6

Lλ＜r＜

3

2

Lλ时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小，再变大，再变小；                                                    
当r＞R_max，即r＞

3

2

Lλ时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小．      
答：
（1）请写出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关系式I=

6BL2v

6Lr+λ(L+2x)(5L-2x)

；
（2）证明见上．最大电压U_m的表达式为U_m=

3BL2vλ

2r+3λL

；
（3）金属棒提供的最大电功率为

6?2

5Lλ+6r

．
（4）导线框上消耗的电功率可能的变化情况是
当r＜R_min，即r＜

5

6

Lλ时，导线框上消耗的电功率先变小，后变大；
当R_min＜r＜R_max，即

5

6

Lλ＜r＜

3

2

Lλ时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小，再变大，再变小；
当r＞R_max，即r＞

3

2

Lλ时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小．

点评：本题是电磁感应中电路问题，要理解并掌握路端电压与外电阻的关系，熟记重要结论：当外电路电阻等于电源的内阻时，电源的输出功率最大．