Question

15．“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成．其原理可简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为M，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U．图中偏转磁场分布在以P为圆心，半径为3R的圆周内，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；内有半径为R的圆盘（圆心在P处）作为收集粒子的装置，粒子碰到圆盘边缘即被吸收．假设太空中漂浮着质量为m，电量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速，从M点以某一速率向右侧各个方向射入偏转磁场，不计粒子间的相互作用和其他星球对粒子引力的影响． 
（1）求粒子到达M点时的速率．
（2）若电势差U=$\frac{2q{B}^{2}{R}^{2}}{m}$，则粒子从M点到达圆盘的最短时间是多少？
（3）接第（2）问，试求到达圆盘的粒子数与到达M点的粒子总数比值η．（结果用反三角函数表示．例：sinθ=k，则θ=arcsink，θ为弧度）

Answer 1

分析 （1）在电场中电场力做功，由动能定理可求得粒子的速度；
（2）由已知条件可求得速度大小，再由洛仑兹力充当向心力可求得半径；根据几何关系可确定最少时间．
（3）根据几何关系确定能到达圆盘的粒子，根据角度关系可求得打在圆盘上粒子所占比值．

解答 解：（1）设粒子到达M点的速度为v，由动能定理可得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）将U=$\frac{2q{B}^{2}{R}^{2}}{m}$代入，
v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\frac{2qBR}{m}$
设该粒子轨迹半径为r，根据qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：
r=2R
若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弦长最短，故从M斜向上射入，在图1中E点到达圆盘的粒子用时最短；
由几何关系可知：
ME=E0=0M=2R
故∠M0E=60°
得t_min=$\frac{60°}{360}$=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$
（3）若粒子以与MP成α角从M点射入磁场，轨迹恰好与圆盘相切，画出轨迹如图2所示；
根据几何关系找出粒子轨迹的圆心与0₁刚好落在磁场的边界上．
MP=0₁P=3R
在等腰△MP0₁中作PF⊥M0₁
因为PF与该粒子从M进入时的速度方向平行，故sinα=$\frac{MF}{MP}$=$\frac{1}{3}$
α=arcsin$\frac{1}{3}$
若粒子以与MP垂直从M点射入磁场，轨迹也恰与圆盘相切，如图3所示；
故入射角度在arcsin$\frac{1}{3}$至$\frac{π}{2}$之间的粒子打在圆盘上；
故达圆盘的粒子数与到达M点的粒子总数比值η=$\frac{\frac{π}{2}-arcsin\frac{1}{3}}{\frac{π}{2}+arcsin\frac{1}{3}}$
答：（1）粒子到达M点时的速率为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子从M点到达圆盘的最短时间是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）故达圆盘的粒子数与到达M点的粒子总数比值为$\frac{\frac{π}{2}-arcsin\frac{1}{3}}{\frac{π}{2}+arcsin\frac{1}{3}}$

点评 本题考查带电粒子在磁场中运动，此类问题解题的关键在于明确粒子的运动情况，注意应用几何关系确定圆心和半径．本题中注意第三小问中利用角度来求粒子数所点比例．