Question

7．如图所示，正方形导线框abcd的质量为m，边长为l，导线框的总电阻为R．导线框从有界匀强磁场的上方某处由静止自由下落，下落过程中，导线框始终在与磁场垂直的竖直平面内，cd边保持水平．磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，磁场上、下两个界面竖直距离为l，已知cd边刚进入磁场时线框恰好做匀速运动，重力加速度为g．求：
（1）cd边刚进入磁场时导线框的速度大小； 
（2）比较cd边刚进入磁场时c、d的电势高低并求出cd两点间的电压大小；
（3）从导线框cd边刚进入磁场到ab边刚离开磁场的过程中，导线框克服安培力所做的功．

Answer 1

分析 （1）cd边刚进入磁场做匀速运动，抓住安培力等于重力，结合切割产生的感应电动势公式、安培力公式和欧姆定律求出cd边刚进入磁场时的速度大小．
（2）根据右手定则得出感应电流的方向，从而得出c、d两点电势的高低，结合欧姆定律求出cd两点间的电压．
（3）根据动能定理求出导线框克服安培力做功的大小．

解答 解：（1）设线框cd边刚进入磁场时的速度为v，则在cd边进入磁场过程中产生的感应电动势为E=Blv，
根据闭合电路欧姆定律，通过导线框的感应电流为I=$\frac{Blv}{R}$，
导线框受到的安培力为F_安=BIl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$，
因cd刚进入磁场时，导线框做匀速运动，所以有F_安=mg，以上各式联立得：
v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（2）根据右手定则知，感应电流的方向为d到c，可知c点的电势高，
cd间的电压$U=\frac{E}{R}×\frac{3}{4}R=\frac{3}{4}Blv$=$\frac{3mgR}{4Bl}$．
（3）导线框穿过磁场的整个过程中，其动能不变．
设导线框克服安培力做功为W安，根据动能定理有：2mgl-W_安=0，
解得：W_安=2mgl．
答：（1）cd边刚进入磁场时导线框的速度大小为$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（2）c点的电势高，cd间的电压为$\frac{3mgR}{4Bl}$．
（3）导线框克服安培力做功为2mgl．

点评 本题考查了求速度、克服安培力做功，分析清楚线框运动过程、应用安培力公式、平衡条件与动能定理即可正确解题．