Question

如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一个小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零．  
试求①．小球在甲圆形轨道最高点时的速率？
②．小球在经过C点时的速率？
③．CD段的长度？

Answer 1

分析：小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力恰好为零，都由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过圆形轨道最高点时的速率．当小球从C到达甲圆形轨道的最高点的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求解小球经过C点时的速率．根据动能定理求解CD的长度．

解答：解：
①设小球通过C点时的速度为v_C，通过甲轨道最高点的速度为v₁，根据小球对轨道压力为零，则有
     mg=m

v12

R

 
解得    v1=

gR

②取轨道最低点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有
   

1

2

mvC2=mg?2R+

1

2

mv12
解得    vC=

5gR

③同理可得小球通过D点时的速度vD=

5gr

．
设CD段的长度为l，对小球通过CD段的过程，由动能定理得
   -μmgl=

1

2

mvD2-

1

2

mvC2
解得：l=

5(R-r)

2μ

答：
①．小球在甲圆形轨道最高点时的速率为

gR

．
②．小球在经过C点时的速率为

5gR

．
③．CD段的长度是l=

5(R-r)

2μ

．．

点评：本题是向心力、机械能守恒定律、动能定理的综合应用．在竖直平面内，小球沿光滑圆轨道的运动模型与轻绳拴的球的运动模型相似，最高点的速度是v=

gr

．