Question

14．根据实际情景建立典型的物理模型是研究物理问题的基础．对于一些物理问题，根据他们的共同特点可以用同一个物理模型来研究．我们课上推导了导体中自由电子定向运动形成电流的微观表达式，请借鉴推导过程中建立的物理模型和推导中用到的方法研究以下问题．
如图为风力发电机的示意图，风轮叶片旋转所扫过的面积为风力发电机可接受的风能的面积．设空气密度为ρ，气体流速为v，风轮叶片长度为r．
（1）求单位时间内风轮机的最大风能P_m；
（2）在风速和叶片数确定的情况下，要提高风轮机的单位时间接受的风能，简述可采取的措施．
（3）已知风力发电机的输出功率P与P_m成正比．某风力发电机的风速v₁=9m/s时能够输出电功率P₁=540kW．我国某地区风速不低于v₂=6m/s的时间每年约为5000小时，试估算这台风力发电机在该地区最小年发电量是多少千瓦时．

Answer 1

分析 （1）根据题中的信息和P=$\frac{W}{t}$求出单位时间内流向风轮机的最大风能功率．
（2）要提高风轮机单位时间接受的风能，要从风的方向和可接受风能的面积着手考虑；
（3）设风能功率和输出功率之间的转化常数为k，分别表示出风速v₁、v₂时发电机的输出功率，求出该地区发电机的最小输出功率，再根据W=Pt求出最小年发电量的值．

解答 解：（1）t时间内吹到叶片的风的质量为m=ρvtπr²，
单位时间内流向风轮机的最大风能功率为：P_m=$\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}}{t}$=$\frac{1}{2}$ρπr²v³；
（2）要提高风轮机单位时间接受的风能可从：增大风轮机叶片旋转所扫过的面积或调整风轮机的方向；
（3）设风能功率和输出功率之间的转化常数为k，则：
风力发电机在风速v₁时能够输出电功率为：P₁=kPm=$\frac{1}{2}$kρπr²v₁³
风力发电机在风速v₂时能够输出电功率为：P₂=$\frac{1}{2}$kρπr²v₂³
所以，$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{{v}_{1}^{3}}{{v}_{2}^{3}}$=（$\frac{2}{3}$）³
即P₂=$\frac{8}{27}$P₁
这台风力发电机在该地区的最小年发电量：
W=P₂t=$\frac{8}{27}$×540kW×5000h=8×10⁵kWh．
答：（1）单位时间内风轮机的最大风能P_m为$\frac{1}{2}$ρπr²v³；
（2）在风速和叶片数确定的情况下，要提高风轮机的单位时间接受的风能，可以增大风轮机叶片旋转所扫过的面积或调整风轮机的方向；
（3）这台风力发电机在该地区最小年发电量是8×10⁵kWh．

点评 本题考查了功和功率的计算，关键是根据题意找出求出发电机功率的方法，及风能的最大功率和输出功率之间的关系．