Question

3．如图所示，P为弹射器，PA、BC为光滑水平面分别与传送带AB水平相连，CD为光滑半圆轨道，其半径R=2m，传送带AB长为L=6m，并以v₀=2m/s的速度逆时针匀速转动，现有一质量m=1kg的物体（可视为质点）由弹射器P弹出后滑向传送带经BC紧贴圆弧面到达D点，己知弹射器的弹性势能全部转化为物体的动能，物体与传送带的动摩擦因数为0.2，若物体经过BC段的速度为v，物体到达圆弧面最高点D时对轨道的压力为F．（g=10m/s²）
（1）写出F与v的函数表达式；
（2）要使物体经过D点时对轨道压力最小，求此次弹射器初始时具有的弹性势能为多少；
（3）若某次弹射器的弹性势能为8J，则物体弹出后第一次滑向传送带和离开传送带由于摩擦产生的热量为多少．

Answer 1

分析 （1）对于物体从B到D的过程，运用机械能守恒定律求出D点的速度与v的关系，在D点，由牛顿第二定律求出轨道对物体的压力，从而由牛顿第三定律求出F与v的关系式．
（2）物体经过D点时对轨道压力最小值是零，由牛顿第二定律求出物体经过D点的最小速度，再能量守恒定律求此次弹射器初始时具有的弹性势能．
（3）由机械能守恒求出物体离开弹簧时的速度，由牛顿第二定律和运动学公式求出物体在传送带滑行时两者相对位移，再求热量．

解答 解：（1）物体从B到D的过程，由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律得：
  F′+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得 F′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-5mg=$\frac{{v}^{2}}{2}$-50（N）
根据牛顿第三定律得：F=F′=$\frac{{v}^{2}}{2}$-50（N）
（2）物体经过D点时对轨道压力最小值是零，在D点，由牛顿第二定律得
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，得 v_D=$\sqrt{gR}$=2$\sqrt{5}$m/s
根据能量守恒定律得
弹射器初始时具有的弹性势能 E_p=μmgL+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR=62J
（3）若某次弹射器的弹性势能为 E_p=8J
设物体被弹出时的速度大小为v₁．
则由能量守恒得  E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₁=4m/s
物体在传送带滑行时加速度为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²
物体第一次滑向传送带至速度减至0的时间 t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$=$\frac{4}{2}$=2s
此过程物体向右运动的位移 x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$=4m＜L，传送带的位移 x₂=v₀t₁=4m
速度减至零后物体向左做匀加速运动，速度从零加速至速度等于传送带的速度用时 t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=1s
此过程物体的位移  x₃=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=1m，传送带的位移 x₄=v₀t₂=2m
所以物体弹出后第一次滑向传送带和离开传送带由于摩擦产生的热量为 Q=μmg[（x₁+x₂）+（x₄-x₃）]=18J
答：
（1）F与v的函数表达式是F=$\frac{{v}^{2}}{2}$-50（N）．
（2）弹射器初始时具有的弹性势能是62J．
（3）物体弹出后第一次滑向传送带和离开传送带由于摩擦产生的热量为18J．

点评 本题是传送带与平抛运动的结合，关键是能正确分析物体的受力情况和运动情况，准确分析能量是如何转化的．要注意摩擦生热与两物体间的相对位移有关．