Question

如图所示：正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长l=1.8m，距地面h=0.8m．平行板电容器的极板CD间距d=0.1m且垂直放置于台面，C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔．电容器外的台面区域内有磁感应强度B=1T、方向竖直向上的匀强磁场．电荷量q=5×10^-13C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压U=2.5V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场（微粒始终不与极板接触），然后由XY边界离开台面．在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇．假定微粒在真空中运动、极板间电场视为匀强电场，滑块视为质点，滑块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s²
（1）求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板地极性；
（2）求由XY边界离开台面的微粒的质量范围；
（3）若微粒质量m_o=1×10^-13kg，求滑块开始运动时所获得的速度．

Answer 1

（1）由左手定则及微粒的偏转方向可知，该微粒带正电，即C板为正，D板为负；电场力的大小为：
F=qE=q

U

d

=1.25×10-11N…①


（2）由题意知两个轨迹边界如图所示，由此边界结合勾股定理得：

l

2

＜R≤l-d…②
再由向心力公式qvB=m

v2

R

得R=

mv

qB

…③
且qU=

1

2

mv2…④
联立②③④式，得该微粒的质量范围：
8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg
（3）将质量m_o=1×10^-13kg代入③④可得：
v=5m/s以及R=1m，其轨迹如图所示．
由图可知cosθ=

l-R

R

=0.8，也即是θ=37°…⑤


设微粒在空中的飞行时间为t，则由运动学公式有：
h=

1

2

gt2…⑥
则滑块滑至与微粒相碰过程中微粒的水平位移为：
s=vt…⑦
微粒滑出点距左边距离：
x=d+Rsinθ…⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：
s=2m   x=0.7m．
由余弦定理，知滑块的位移 S0=

S2+π2-2Sxcosθ

=1.5m．
由位移公式S0=v0t-

1

2

μgt2
解得：v₀=4.15m/s．
由正弦定理有：

S

sinα

=

S0

sinθ

S

sinφ

=

S0

sinθ

φ
得：sinφ=0.8
φ=arcsin0.8（或φ=53°）
答：（1）微粒在极板间所受电场力的大小1.25×10^-11N，C板为正，D板为负．
    （2）由XY边界离开台面的微粒的质量范围为8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg．
    （3）若微粒质量m_o=1×10^-13kg，滑块开始运动时所获得的速度为4.15m/s．