Question

如图所示，劲度系数k=20.0N/m的轻质水平弹簧右端固定在足够长的水平桌面上，左端系一质量为M=2.0kg的小物体A，A左边所系轻细线绕过轻质光滑的定滑轮后与轻挂钩相连。小物块A与桌面的动摩擦因数μ=0.15，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将一质量m=1.0kg的物体B挂在挂钩上并用手托住，使滑轮右边的轻绳恰好水平伸直，此时弹簧处在自由伸长状态。释放物体B后系统开始运动，取g=10m/s2。

（1）求刚释放时物体B的加速度a；

（2）求小物块A速度达到最大时弹簧的伸长量x1；

（3）已知弹簧弹性势能，x为弹簧形变量，求整个过程中小物体A克服摩擦力年做的总功W。

Answer 1

解：（1） 对A、B两物体组成的系统由于mg＞μMg，所以B刚释放时物体A将开始向左运动，

此时弹簧弹力为零，据牛顿第二定律有：mg-μMg=（m+M）a             （3分）

解得a= =  m/s2                                         （2分）

（2） 在A向左加速过程中位移为x时A和B的加速度为a，

据牛顿第二定律有mg-μMg-kx=（m+M）a                           （2分）

A第1次向左运动到a=0位置时，速度达到最大，设A此时向左运动位移为x1，则有：     mg- μMg- kx1= 0                                               （2分）

解得x1= =0.35 m                                   （2分）

（3）设A向左运动的最大位移为x2，则有mgx2= kx22+μMgx2           （2分）

解得x2=0.7 m                                                 （1分）

此时kx2＞mg+μMg，故A将向右运动。                           （1分）

设A向右运动返回到离初始位置距离为x3时速度再次减为零，则有

kx22-kx32=mg（x2-x3）+μMg（x2-x3）                              （1分）

解得x3=0.6 m                                                   （1分）

此时mg＜μMg+kx3，所以A静止在x3处。                          （1分）

整个过程中A运动的总路程s=x2+（x2-x3）=0.8 m                     （1分）

A克服摩擦力所做总功W=μMgs=2.4 J                              （1分）

（说明：若根据简谐运动的对称性求解正确的也同样给分，此法可参见《步步高大二轮》等值模拟五第22题）