Question

16．如图所示，一块足够大的光滑平板能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角α．板上一根长为L=0.50m的细绳，它的一端系住一质量为m=0.1kg的小球，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将细绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v₀=3.0m/s．取重力加速度g=10m/s²，cos 53°=0.6，若小球能在板上做圆周运动，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 当倾角α=0°时，细绳中的拉力大小为18N
• B． 当倾角α=37°时，小球通过最高点时细绳拉力为零
• C． 当倾角α=90°时，小球可能在竖直面内做圆周运动
• D． 当倾角α=30°时，小球通过最低点时细绳拉力大小为4.3N

Answer 1

分析 先对小球受力分析，受绳子拉力、斜面弹力、重力，小球在最高点时，由绳子的拉力和重力分力的合力提供向心力，由圆周运动规律可列此时的表达式；小球从释放到最低点的过程，依据动能定理或机械能守恒可列方程求出最低点的速度，再根据向心力公式求出绳子拉力；

解答 解：A、当倾角α=0°时，小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律$T=m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}=0.1×\frac{3．{0}_{\;}^{2}}{0.50}=1.8N$，故A错误；
B、当倾角α=37°时，根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=mgLsin37°$，解得最高点速度$v=\sqrt{3}m/s$
在最高点，根据向心力公式有：$T+mgsin37°=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$，代入数据：$T+0.1×10×0.6=0.1×\frac{3}{0.5}$，解得：T=0，所以小球通过最高点绳子拉力为零，故B正确；
C、当倾角α=90°时，假设小球能通过最高点，根据机械能守恒，有$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=mgL$，方程无解，说明小球不可能在竖直平面内做圆周运动，故C错误；
D、当倾角α=30°时，根据机械能守恒，有$mgLsin30°=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，解得小球在最低点的速度$v=\sqrt{14}m/s$，在最低点根据向心力公式有$T-mgsin30°=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$
代入数据：$T-0.1×10×\frac{1}{2}=0.1×\frac{14}{0.5}$，解得T=3.3N，故D错误；
故选：B

点评 本题重点是小球能通过最高点的临界条件，这个情形虽然不是在竖直平面内的圆周运动，但是其原理和竖直平面内的圆周运动一样，都是T=0为小球能过最高点的临界条件．