Question

1．如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v₀=6m/s，将质量m=1.0kg的可看作质点的滑块无初速地放到传送带A端，传送带长度为L=12.0m，“9”字全高H=0.8m，“9”字上半部分圆弧半径为R=0.2m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.3，重力加速g=10m/s²，试求：
（1）滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；
（2）滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；
（3）若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ=45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度 h（保留两位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）滑块在传送带上先做匀加速直线运动，达到传送带速度后做匀速直线运动，结合运动学公式求出滑块从A端到达B端的时间．
（2）对B到C的过程运用动能定理求出C点的速度，根据牛顿第二定律求出轨道在C点对滑块的弹力，从而得出滑块对轨道的作用力大小和方向．
（3）对B到D的过程运用动能定理，求出到达D点的速度，根据平抛运动的规律求出到达P点竖直方向上的分速度，结合速度位移公式求出P、D两点间的高度．

解答 解：（1）在传送带上加速运动时，由牛顿定律μmg=ma得
a=μg=3m/s²
加速到与传送带达到共速所需要的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{6}{3}s=2s$，
前2s内的位移
${x}_{1}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×3×{2}^{2}m=6m$，
之后滑块做匀速运动的位移x₂=L-x₁=6m．
所用的时间${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{{v}_{0}}=\frac{6}{6}s=1s$，
故t=t₁+t₂=3s．
（2）滑块由B到C的过程中动能定理$-mgH=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在C点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，
由牛顿第二定律得${F}_{N}+mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
解得F_N=90N，方向竖直向下，
由牛顿第三定律得，滑块对轨道的压力大小 90N，方向竖直向上．
（3）滑块从B到D的过程中由动能定理得$-mg（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在P点${v}_{y}=\frac{{v}_{D}}{tan45°}$，
又h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$，
代入数据，解得h=1.4m．
答：（1）滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间为3s；
（2）滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小为90N，方向竖直向上；
（3）P、D两点间的竖直高度为1.4m．

点评 本题考查了多过程问题，关键理清物体的运动规律，结合牛顿第二定律、动能定理进行求解．