Question

如图所示，电动机带动滚轮做逆时针匀速转动，在滚轮的摩擦力作用下，将一金属板从斜面底端A送往上部，已知斜面光滑且足够长，倾角θ=30°，滚轮与金属板的切点B到斜面底端A的距离为L=6.5m，当金属板的下端运动到切点B处时，立即提起滚轮使它与板脱离接触．已知板之后返回斜面底部与挡板相撞后立即静止，此时放下滚轮再次压紧板，再次将板从最底端送往斜面上部，如此往复．已知板的质量为m=1×10³kg，滚轮边缘线速度恒为v=4m/s，滚轮对板的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与板间的动摩擦因数为μ=0.35，取g=10m/s²．求：
（1）在滚轮作用下板上升的加速度；
（2）板加速至与滚轮速度相同时前进的距离；
（3）板往复运动的周期．

Answer 1

分析：对杆进行受力分析，杆在重力、支持力、滚轮压力和摩擦力作用下产生加速度，求出物体所受合力可以得加速度a；由加速度和杆运动的末速度与轮边缘相同可求出杆运动的时间t，轮分两个过程对杆做功，在两个过程中根据动能定理可求出轮对杆所做的功W；把杆的运动分成三段，一是在滑动摩擦力作用下的匀加速运动，二是在静摩擦力作用下的匀速运动，三是重力沿斜面向下分力作用下的匀减速直线运动，分三段运动求杆运动的时间即可．

解答：解：（1）对杆进行受力分析
杆受重力G、斜面对杆的弹力F₁，滚轮对杆的压力F₂和滚轮对杆沿斜面向上的摩擦力f，四个力作用．建立直角坐标系，有：
F_合x=f-Gsinθ=ma          ①
F_合y=F₁-F₂-mgcosθ=0   
∵轮对杆的压力F2=2×104N
∴轮对杆的摩擦力f=μF_N=μF₂，代入①式得杆产生的加速度：
a=

f-Gsinθ

m

=2m/s²
（2）由题意知，杆做初速度为0，加速度a=2m/s²的匀加速运动，末速度与滚轮边缘线速度大小相同即v=4m/s．
根据匀加速直线运动速度位移关系可得：
v²=2ax
即位移：x=

v2

2a

=

42

4

m=4m．
（3）根据题意知，杆在一个同期中的运动分为三个过程：
第一个过程杆向上做匀加速直线运动时间t1=

v

a

=

4

2

=2s
第二个过程杆向上做匀速直线运动，时间t2=

L-x

v

=0.625s
离开滚轮后上升时加速度大小a₂=gsinθ=5m/s²，方向沿斜面向下继续上升的时间t₃=

v

a2

=

4

5

s=0.8s
板往复运动的周期T=t₁+t₂+t₃+t₄=5.225s
答：（1）在滚轮作用下板上升的加速度为2m/s²；
（2）板加速至与滚轮速度相同时前进的距离为4m；
（3）板往复运动的周期为5.225s．

点评：正确对杆进行受力分析，根据受力情况确定杆的运动情况，分析杆在运动过程中各力的做功情况，根据动能定理求解即可．注意对运动性质的确定，能正确判断物体的运动性质，并能写出运动规律．