Question

12．如图，一轻质弹簧一端固定、另一端与质量为M的小滑块连接，开始时滑块静止在水平导轨的O点，弹簧处于原长状态．导轨的OA段是粗糙的，其余部分都是光滑的．有一质量为m的子弹以大小为v的速度水平向右射入滑块，并很快停留在滑块中．之后，滑块先向右滑行并越过A点，然后再向左滑行，最后恰好停在出发点O处．
（1）求滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值．
（2）滑块停在O点后，另一质量也为m的子弹以另一速度水平向右射入滑块并很快停留在滑块中，此后滑块滑行过程先后有两次经过O点．求第二颗子弹入射前的速度u的大小在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）一颗子弹射入滑块后，根据动量守恒定律求出速度．滑块向右滑行至最右端时，弹簧弹性势能达到最大，由能量守恒定律列出方程．滑块由最右端向左滑行至O点，再由功能关系得到弹簧的弹性势能与OA段的长度的关系式，联立求出弹簧弹性势能的最大值．
（2）由动量守恒定律求出第二颗子弹射入滑块后滑块的速度，若滑块第一次返回O点时就停下，根据能量守恒定律求出速度u；若滑块第一次返回O点后继续向左滑行，再向右滑行，且重复第一次滑行过程，最后停在O点，由能量守恒定律求出速度u，联立即可得到速度u的范围．

解答 解：（1）设OA段的长度为l，与滑块间的动摩擦因数为μ，设第一颗子弹射入滑块后滑块的速度为v₁，
由动量守恒定律得   mv=（M+m）v₁                  ①
滑块向右滑行至最右端时，弹簧弹性势能达到最大，设为EP，由功能关系得
$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²=μ（M+m）?gl+E_P         ②
滑块由最右端向左滑行至O点，由功能关系得
E_P=μ（M+m）gl                        ③
解得：${E_P}=\frac{{{m^2}{v^2}}}{4（M+m）}$④
（2）设第二颗子弹射入滑块后滑块的速度为v₂，
由动量守恒定律得    mu=（M+2m）v₂         ⑤
若滑块第一次返回O点时就停下，则滑块的运动情况与前面的情况相同
$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²=μ（M+2m）g?2l  ⑥
解得$u=\frac{M+2m}{M+m}v$⑦
若滑块第一次返回O点后继续向左滑行，再向右滑行，且重复第一次滑行过程，最后停在O点，则$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²=μ（M+2m）g?4l     ⑧
解得$u=\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$⑨
第二颗子弹入射前的速度u 的大小在以下范围内$\frac{M+2m}{M+m}v＜u＜\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$
答：（1）滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值为$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{4（M+m）}$．
（2）第二颗子弹入射前的速度u的大小范围为$\frac{M+2m}{M+m}v＜u＜\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$．

点评 本题考查了动量守恒定律和能量守恒关系在子弹打木块模型中的应用，注意研究对象的选取和能量守恒关系的应用，要挖掘隐含的临界条件，确定速度u的速度范围．