Question

如图，MN、PQ为固定在同一竖直平面内的两根水平导轨，两导轨相距d=10cm，导轨电阻不计．ab、ef为两根金属棒，ab的电阻R₁=0.4Ω，质量m₁=1kg，ef的电阻R₂=0.6Ω，质量m₂=2kg．金属棒ab竖直立于两导轨间，可沿着导轨在水平方向平动．金属棒ef下端用铰链与导轨PQ链接，可在两导轨间转动，ef的上端与导轨MN的下表面搭接，金属棒ef与导轨成60°角．两棒与导轨保持良好接触，不计各处摩擦．整个装置处在磁感应强度B=1T、方向垂直于导轨的水平磁场中．t=0时起，给金属棒ab施加一水平向左的力F₁，使金属棒ab向左运动，同时给金属棒ef的上端施加一垂直于ef斜向上的力F₂（F₂在图示竖直平面内），F₂随时间的变化满足：F₂=（0.01t+5）N，在金属棒ab向左运动的过程中，金属棒ef与导轨MN保持搭接但恰好无压力．重力加速度g取10m/s²．试求：
（1）金属棒ab的速度随时间变化的关系式，并说明其运动性质．
（2）在0～5s内，通过金属棒ab的电量．
（3）第5s末，F₁的瞬时功率．

Answer 1

（1）金属棒ab、ef受到的安培力大小分别用F_1A、F_2A表示．
对金属棒ef，由力矩平衡得：
m₂g

lef

2

cos60°+F_2A

lef

2

=F₂l_ef，
其中：F₂=（0.01t+5）N，m₂g=20N
可得：F_2A=0.02tN
又 F_2A=BIl_ef=

2 3

3

BId
又 I=

Bdvab

R1+R2

即有：F_2A=

2 3 B2d2

3(R1+R2)

vab=

2 3

300

vab
可得：v_ab=

3

t（m/s）
所以金属棒ab向左做初速度为0、加速度为a=

3

m/s²的匀加速直线运动．
（2）在0～5s内：
金属棒ab的位移：s=

1

2

at2=

1

2

×

3

×52m=

25 3

2

m
通过金属棒ab的电量：q=

.

I

t=

. E

R1+R2

t=

△φ t ?t

R1+R2

=

5 3

4

C
（3）在第5s末，棒的速度为：v₅=at=5

3

m/s
根据牛顿第二定律得：F₁-F_1A=m₁a
即有：F₁=

B2d2

R1+R2

vab+m₁a=

12×0．12

0.4+0.6

×5

3

+1×

3

=

21 3

20

N
所以F₁的瞬时功率为P₁=F₁v₅=

21 3

20

×5

3

=15.75W
答：（1）金属棒ab的速度随时间变化的关系式为v_ab=

3

tm/s，金属棒ab向左做初速度为0、加速度为a=

3

m/s²的匀加速直线运动．
（2）在0～5s内，通过金属棒ab的电量为

5 3

4

C．
（3）第5s末，F₁的瞬时功率为15.75W．