Question

小轿车以20m/s的速度在平直公路上匀速行驶，司机突然发现正前方有个收费站，经20s后司机才刹车使车匀减速恰停在缴费窗口，缴费后匀加速到20m/s后继续匀速前行．已知小轿车刹车时的加速度为2m/s²，停车缴费所用时间为30s，启动时加速度为1m/s²．
（1）司机是在离收费窗口多远处发现收费站的．
（2）因国庆放假期间，全国高速路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求轿车通过收费窗口前9m区间速度不超过6m/s，则国庆期间该小轿车应离收费窗口多远处开始刹车？因不停车通过可以节约多少时间？

Answer 1

分析：1、解出匀速运动的位移，再解出匀减速运动的位移，两位移相加即为要求的距离．
2、分段研究，收费时总时间为：减速到0的时间，加上收费的时间，再加上加速到20m/s的时间．
不收费时的总时间为：减速到6m/s的时间，加上匀速运动的时间，加上加速到20m/s的时间，还要加上匀速运动的时间．
上述时间的差值即为节约的时间．

解答：解：（1）根据题意，设司机匀速运动位移为 s₁；减速运动时间为t₂，位移为s₂．
s₁=vt=20×20=400（m）
t2=

v

a

=

20

2

=10（s）
s2=vt-

1

2

at2=100（m）
所以司机在离收费站窗口100+400=500m处发现收费站的．
（2）根据题意轿车应该在收费窗口前9m处速度减为6m/s，设车减速位移为s₁′，
由2as=vt2-v02得：
s1′=

vt2-v02

2a

=

62-202

-2×2

=91(m)
所以，轿车应离收费窗口91+9=100（m）处开始刹车．
设停车收费后加速时间为t₃，位移为s₃，则有：t3=

v

a′

=20(s)
s3=

1

2

at32=200（m）
若停车收费经过窗口前100m到窗后200m的总时间为：t₁+t₂+t₃=10+30+20=60（s）
若不停车收费也是窗前100m开始刹车，时间为：t4=

vt-v0

a

=

6-20

-2

=7(s)
窗口前匀速时间：t5=

s

v

=

9

6

=1.5(s)
窗口后加速到20m/s所用时间为：t6=

vt-v0

a′

=

20-6

1

=14(s)
加速运动的位移由：s=v0t+

1

2

at2得：s3′=6×14+

1

2

×1×142=182(m)
窗口后还有200-182=18（m）匀速运动，其时间为：t7=

18

20

=0.9(s)
若不停车经过窗口前100m到窗口后200m的总时间为：t₄+t₅+t₆+t₇=7+1.5+14+0.9=23.4（s）
所以不停车通过可以节约时间为60-23.4=36.6（s）的时间．
答：（1）司机是在离收费窗口500m发现收费站的．
（2）国庆期间该小轿车应离收费窗口100m开始刹车．因不停车通过可以节约36.6s．

点评：此题运动的过程复杂，轿车经历减速、匀速、加速，加速度、位移、时间等都不一样．分析这样的问题时，要能在草稿子上画一画运动的过程图，找出空间关系，有助于解题．此题有一定的难度，是一道好题．