Question

5．如图所示，AB是倾角为θ=53°的粗糙直轨道，BCD是半径为R的光滑圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ=0.5．sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程s；
（2）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D（E、O、D为同一条竖直直径上的3个点），释放点距B点的距离L应满足什么条件．
（3）若物体从距B点d=3R处静止滑下，则物体离开圆轨时离圆心O点的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）物体在斜面上运动时，由于要克服摩擦力做功，机械能不断损失，最终物体以B（还有B关于OE的对称点）为最高点，在圆弧底部做往复运动，对整个过程，运用动能定理可求出物体在AB轨道上通过的总路程s．
（2）根据圆周运动中物体能过最高点D的条件求出D点的速度，然后根据动能定理求出L，从而得到L应满足的条件．
（3）由牛顿第二定律求出物体到达B点的速度，然后应用动能定理与几何知识求出高度．

解答 解：（1）因为在AB轨道上摩擦力始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．
对整个过程，由动能定理得：mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0，
解得总路程为：$s=\frac{R}{μ}=\frac{R}{0.5}=2R$；
（2）设物体刚好到D点，由牛顿第二定律得：mg=$m\frac{v_D^2}{R}$，
对全过程，由动能定理得：mgLsin θ-μmgcos θ•L-mgR（1+cos θ）=$\frac{1}{2}$m$v_D^2$-0，
解得：L≥$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}$•R=4.2R；
（3）设物体离开圆轨时，所在半径与水平方向夹角为β．由牛顿第二定律得：$mgsinβ=m\frac{{v_{\;}^2}}{R}$，
从B点到离开轨道的过程，由动能定理得：
$mg（dsinθ-Rcosθ-Rsinβ）-μmgdcosθ=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得：sinβ=0.6，距圆心高为：h=Rsinβ=0.6R；
答：（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程s为2R；
（2）释放点距B点的距离L应满足什么条件是：L≥4.2R．
（3）若物体从距B点d=3R处静止滑下，则物体离开圆轨时离圆心O点的高度是：0.6R．

点评 本题的关键要分析清楚物体的运动过程，判断物体最终的运动状态，把握圆周运动向心力来源，应动能定理、向心力知识结合解答．