Question

5．月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，则地球的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，若地球的半径为R，则地球的密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力的周期表达式，可得地球质量．
（2）依据球体的体积公式，可表示地球体积，在联合质量，可得地球密度．

解答 解：设M为地球质量，m为月球质量由万有引力提供向心力：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
地球体积为：V=$\frac{4}{3}$πR³，
地球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
故答案为：$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

点评 该题是一道万有引力的考题，重点方法是万有引力提供向心力的应用．明确星体表面物体与空中物体表达式的区别．