Question

如图所示，导体杆ab的质量为m，电阻为R，放置在水平夹角为θ的倾斜金属导轨上．导轨间距为d，电阻不计，系统处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，电池内阻不计，问：
（1）若导轨光滑，电源电动势E多大能使导体杆静止在导轨上？
（2）若杆与导轨之间的动摩擦因数为μ，且不通电时导体杆不能静止在导轨上，要使导体杆静止在导轨上，电池的电动势应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）分析导体棒的受力情况：重力、导轨的支持力和安培力．根据平衡条件、安培力公式和闭合电路欧姆定律求解电动势E；
（2）当导体棒刚要沿导轨上滑时，导体棒所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大值，安培力达到最大，电路中电流最大，电阻R最小，根据平衡条件、安培力公式和闭合电路欧姆定律求解电动势的最大值；
当导体刚要沿导轨下滑时，导体棒所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大值，安培力达到最小，电路中电流最小，电阻R最大，再根据平衡条件、安培力公式和闭合电路欧姆定律结合求解电动势的最小值．即电池的电动势的范围．

解答：解：（1）对导体棒受力分析如图所示，由平衡条件得：
  F-Nsinθ=0
  Ncosθ-mg=0
而 F=BId=B

E

R

d
由以上三式解得  E=

Rmgtanθ

Bd

（2）由两种可能：一种是E偏大，I偏大，F偏大，导体杆有上滑趋势，摩擦力沿斜面向下，由平衡条件得
  Fcosθ-mgsinθ-μ（mgcosθ+Fsinθ）=0
根据安培力公式有F=B

E1

R

d
以上两式联立解得电动势的最大值 E1=

Rmg(sinθ+μcosθ)

Bd(cosθ-μsinθ)

另一种可能是E偏小，摩擦力沿斜面向上，同理可得电动势的最小值 E2=

Rmg(sinθ-μcosθ)

Bd(cosθ+μsinθ)

综上所述电池电动势应满足   E₁≤E≤E₂．即

Rmg(sinθ-μcosθ)

Bd(cosθ+μsinθ)

≤E≤

Rmg(sinθ+μcosθ)

Bd(cosθ-μsinθ)

答：
（1）若导轨光滑，电源电动势E为

Rmgtanθ

Bd

能使导体杆静止在导轨上．
（2）要使导体杆静止在导轨上，电池的电动势应满足的条件是：

Rmg(sinθ-μcosθ)

Bd(cosθ+μsinθ)

≤E≤

Rmg(sinθ+μcosθ)

Bd(cosθ-μsinθ)

．

点评：本题是通电导体在磁场中平衡问题，分析受力时，关键要抓住当导体棒刚要滑动时静摩擦力达到最大值这个临界条件．