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    12．如图，半径R=1m的$\frac{3}{4}$圆形光滑管道ABC竖直放在水平地面上，C为最高点，B为最低点，管道内放一可在管道内自由移动的小球，现对管道施加一水平向右的恒力F，小球恰好可以在P点相对管道静止，此时过P点的半径OP与竖直方向的夹角为θ=30°，现再用这一装置将小球锁定在B点，管道仍在恒力F作用下从静止开始沿水平地面向右做匀加速运动，经过一段时间后管道遇一障碍突然停止运动，同时解除锁定，小球能通过管道的A点，重力加速度为g=10m/s2，小球及管道大小不计．求：
    （1）恒力作用下圆形管道运动的加速度；
    （2）圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值．

    分析 （1）对小球受力分析，由力的平行四边表及牛顿第二定律可求得管道的加速度；
    （2）当管道停止时，小球沿半径方向的速度为零，沿切线的方向速度不变；由运动的合成与分解求得径向速度； 此后由机械能守恒定律及平抛运动的规律可求得小球可能的运动距离

    解答 解：（1）小球受力如图，由力的平行四边形定则及牛顿第二定律得：
    mgtanθ=ma；
    解得：a=gtanθ；
    即为恒力作用下的圆形管道运动的加速度；
    （2）设圆形管道在运动过程中突然停止前进的速度为v，由匀变速直线运动公式得：v2=2as；
    圆形管道停止时，小球沿管道半径方向的速度变为零，沿切线方向的速度保持不变，对速度v沿切向和径向进行分解，则小球速度变为v′=vcosθ；
    小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域则可返程到达A点，或从C点飞出做平抛运动到达A点；
    若小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域，则由机械能守恒得：
    $\frac{1}{2}$m（vcosθ）2=mg（Rcosθ+h），
    其中0≤h＜R
    联立以上相关各式得：$\frac{R}{sinθ}$≤s＜$\frac{2R（1+cosθ）}{sin2θ}$
    若小球从C点飞出做平抛运动到达A点，则由机械能守恒及平抛运动的规律得：
    R=$\frac{1}{2}$gt2，R=vCt
    $\frac{1}{2}$m（vcosθ）2=mgR（1+cosθ）+$\frac{1}{2}$mvc2
    联立以上相关各式得：s=$\frac{R（5+4cosθ）}{2sin2θ}$
    圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值为：$\frac{R}{sinθ}$≤s＜$\frac{2R（1+cosθ）}{sin2θ}$或s=$\frac{R（5+4cosθ）}{2sin2θ}$
    答：（1）恒力作用下圆形管道运动的加速度为gtanθ；
    （2）圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值为$\frac{R}{sinθ}$≤s＜$\frac{2R（1+cosθ）}{sin2θ}$或s=$\frac{R（5+4cosθ）}{2sin2θ}$．

    点评 本题考查机械能守恒及平抛运动的规律，注意在解题中要正确应用运动的合成与分解，明确在运动中速度的突变．

    练习册系列答案
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